Прямая в пространстве. Решения типовых задач. Часть 3

Решения типовых задач по теме "Задание прямой в пространстве". Часть 3
Задача №1. Установить, лежит ли данная прямая в данной плоскости, параллельна плоскости или пересекает ее:
a)

\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{1},\; \; \; 3x-y+2z+5=0;


б)

\frac{x-2}{-2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{2},\; \; \; 4x+2y+z+24=0;


в)

\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{4}=\frac{z+5}{2},\; \; \; 4x+y-z=0.


Решение задачи №1 подробно изложено в следующем видео

Прямая в пространстве. Решения типовых задач. Часть 2

Решения типовых задач по теме "Задание прямой в пространстве". Часть 2
Задача №1. Определить косинус угла между двумя пря­мыми:

\left\{\begin{matrix} 3x-4y-2z=0,\\ 2x+y-2z=0 \end{matrix}\right.


и

\left\{\begin{matrix} 4x+y-6z-2=0,\\ y-3z-2=0. \end{matrix}\right.


Задача №2. Проверить, лежат ли прямые

Прямая в пространстве. Решения типовых задач. Часть 1

Решения типовых задач по теме "Задание прямой в пространстве". Часть 1
Задача №1. Построить прямую, заданную общими уравне­ниями

\left\{\begin{matrix} x+3y+3z-6=0,\\ 3x+3y+4z-10=0. \end{matrix}\right.


Построение. Так как две данные плоскости, не параллельные между собой (не выполня­ется условие параллельности двух плоскостей), то в пе­ресечении они дают прямую.
Построим каждую из данных плоскостей. Первая плоскость на осях координат отсекает отрезки а = 6, b = 2, c = 2. Вторая плоскость отсекает отрезки

a_{1}=3\frac{1}{3},\; b_{1}=3\frac{1}{3},\; c=2\frac{1}{2}.


Линия MN пересечения данных плоскостей и есть ис­комая прямая.
Задача №2. Как расположены следующие прямые:

Прямая и плоскость в пространстве. Основные формулы

Основные понятия и формулы по теме "Прямая и плоскость в пространстве".
1. Угол между прямой

\frac{x-a}{m}=\frac{y-b}{n}=\frac{z-c}{p}


и плоскостью

Ax+By+Cz+D=0


определяется по формуле:

\sin \phi =\frac{\left|Am+Bn+Cp \right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}\cdot \sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}.\; \; \; (1)


2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:

Am+Bn+Cp=0.\; \; \; (2)


3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:

\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}.


4. Если даны две плоскости A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0 иA_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0, то уравнение всякой плоскости, проходящей через ли­нию пересечения заданных плоскостей, имеет вид:

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}+\lambda \left( A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}\right)=0,\; \; (4)


где \lambda — переменный параметр.
Уравнение (4) называется уравнением пучка плоскостей.
5. Условием, при котором две прямые

загрузка...

Прямая линия в пространстве. Основные формулы

1. Общие уравнения прямой.
Прямая линия в пространстве определяется как линия пересе­чения двух плоскостей. В этом случае она определяется системой двух уравнений первой степени:

\left\{\begin{matrix} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0. \end{matrix}\right.\; \; \; (1)


Уравнения (1), рассматриваемые совместно, называются общими уравнениями прямой (рис.1).
pr_pl_02

Рис.1

2. Уравнения прямой в двух проектирующих плоскостях.
Уравнения прямой в проекциях на координатные плоскости, например, на плоскости хОz и yOz имеют вид:

Решение типовых задач по теме "Плоскость". Пучок плоскостей. Часть 4

Решение типовых задач по теме "Задание плоскости в пространстве". Часть 4
Задача №1. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей Зx+y+z-4=0, x+3z-5=0 и отсекающей на осях Ох и Оу равные от­резки.
Решение. Уравнение пучка плоскостей, проходя­щих через линию пересечения двух данных плоскостей, имеет вид:

3x+y+z-4+\lambda (x+3z-5)=0,


или

(3+\lambda )x+y+(1+3\lambda )z-(4+5\lambda)=0.


Запишем это уравнение в виде уравнения в отрезках:

\frac{(3+\lambda )x}{4+5\lambda }+\frac{y}{4+5\lambda }+\frac{(1+3\lambda )z}{4+5\lambda }=1,


или

\frac{x}{\frac{4+5\lambda }{3+\lambda }}+\frac{y}{4+5\lambda }+\frac{z}{\frac{4+5\lambda }{1+3\lambda }}=1.


Согласно условию, отрезки, отсекаемые на осях Ох и 0y, равны, т. е.

\frac{4+5\lambda }{3+\lambda }=4+5\lambda ,\; 1=3+\lambda ,\; \lambda =-2.


Таким образом, искомым уравнением плоскости яв­ляется уравнение:

Решение типовых задач по теме "Плоскость". Часть 3

Решение типовых задач по теме "Задание плоскости в пространстве". Часть 3
Задача №1. Даны две параллельные плоскости 3x + 4y-2z-1=0 и 6x+8y-4z-3=0.
Найти среднюю плоскость (т.е. параллельную данным плоскостям и расположенную между ними на равных расстояниях от них).
Решение. Пусть точка M(x;y;z) принадлежит искомой плоскости. Определим ее отклонение от каждой из данных плоскостей по формуле:

\delta =\frac{Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}.


\delta_{1} =\frac{3x+4y-2z-1}{\sqrt{9+16+4}}=\frac{3x+4y-2z-1}{\sqrt{29}}.


\delta_{2} =\frac{6x+8y-4z-3}{\sqrt{36+64+16}}=\frac{6x+8y-4z-3}{\sqrt{116}}=\frac{6x+8y-4z-3}{2\sqrt{29}}.


Так как точка М лежит между данными плоскостями, а плоскости расположены по одну сторону от начала координат.
D_{1}=-1<0,\; D_{2}=-3<0, то отклонения \delta _{1} и \delta _{2} будут противоположных знаков:

\delta _{1}=-\delta _{2},\; \frac{3x+4y-2z-1}{\sqrt{29}}=-\frac{6x+8y-4z-3}{2\sqrt{29}};


6x+8y-4z-2=-6x-8y+4z+3,\; 12x+16y-8z-5=0 — искомое уравнение.
Ответ: 12x+16y-8z-5=0.
Задача №2. Найти плоскость, параллельную двум данным параллельным плоскостям
2х+3y-z-1=0 и 4x+6y-2z+3=0 и делящую расстояние между ними в отношении 2:3.

загрузка...