Кривые второго порядка: гипербола и парабола (основные формулы)

1. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а (рис.1). Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
kiip026
Координаты фокусов гиперболы: F(c;0) и F₁(-c;0). Расстояние между фокусами равно 2с.
Точки пересечения гиперболы с осью абсцисс А(а;0) и A₁(—а;0) называются действительными вершинами.
kiip030

Рис.2

Отрезок АА₁ = 2а называется действительной осью гиперболы. Точки В (0;b) и В₁(0;—b) называются мнимыми вершинами гиперболы, а отрезок ВВ₁ = 2b называется мнимой осью гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы
kiip028
Расстояния r и r₁ точки М(x;у) гиперболы до ее фокусов называются фокальными радиусами этой точки и определяются формулами:


kiip032
если точка М лежит на правой ветви;
kiip034
если точка М лежит на левой ветви.
Две прямые PQ и P₁Q₁ параллельные мнимой оси гиперболы и
отстоящие от нее на расстоянии a/e, называются директрисами гиперболы. Их уравнения:
kiip036
или
kiip038
Отношение расстояний любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы
kiip040
Прямые RS и R₁S₁ определяемые уравнениями
kiip042
называются асимптотами гиперболы.
Уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным осям, имеет вид:
kiip044
где x₀, у₀ — координаты центра гиперболы. Две гиперболы, выраженные уравнениями
kiip046
kiip048
называются сопряженными (рис.3). Они имеют общие асимптоты.
kiip052

Рис. 3.                                        Рис. 4.

Если оси гиперболы равны, т. е. a = b, то гипербола называется равнобочной или равносторонней (рис.4). Ее уравнение имеет вид
kiip050
ее асимптотами служат биссектрисы координатных углов. Если за оси координат принять асимптоты равносторонней гиперболы, то ее уравнение примет вид
kiip054

2. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных oт данной точки — фокуса и данной прямой — директрисы (рис.5).
Каноническое уравнение параболы имеет вид
kiip056
где Р — есть расстояние от фокуса до директрисы. Вершина параболы находится в начале координат, осью симметрии служит ось абсцисс.
Координаты фокуса F(p/2;0). Уравнение директрисы PQ параболы имеет вид
kiip056
Фокальный радиус точки М(х;у) параболы равен:
kiip060
Эксцентриситет параболы считается равным единице, е=1. Если осью симметрии параболы служит ось ординат (рис.6). то уравнение параболы имеет вид:
kiip062
kiip064
Рис. 3.                                        Рис. 4.
Уравнение директрисы в этом случае
kiip072
Уравнение параболы с осью симметрии, параллельной одной из координатных осей, имеет вид:
kiip066
или
kiip070
где (x₀; y₀) — координаты вершины параболы.

3. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах

Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах имеют один и тот же вид:
kiip068
где е — эксцентриситет кривой.
Если е<1, то кривая, определяемая уравнением (27), есть эллипс; если е>1, то кривая — гипербола и если е=1, то кривая — парабола.
р — фокальный параметр для эллипса и гиперболы находится по формуле
kiip074
Для параболы р имеет то же значение, что и в уравнении

у² = 2рх.

При этом полюс расположен для эллипса в левом фокусе, для гиперболы — в правом фокусе.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×