Логарифмическое дифференцирование. Практикум по математическому анализу. Урок 31

Логарифмическое дифференцирование. Практикум по математическому анализу. Урок 31

Дифференцирование многих функций значительно упрощается, если их предварительно прологарифмировать.
Если требуется найти \displaystyle y' из уравнения \displaystyle y=f(x), то можно:
а) логарифмировать обе части уравнения (по основанию /(e/));
\displaystyle \ln y=\ln f(x)=\varphi (x);
б) дифференцировать обе части полученного равенства, где \displaystyle \ln y есть сложная функция от /(x/),
\displaystyle \frac{y'}{y}=\varphi '(x) (согласно формуле 11);
в) заменить y его выражением через \displaystyle x и определить \displaystyle y':
\displaystyle y'=y\varphi '(x)=f(x)\varphi '(x).
Логарифмическое дифференцирование полезно применять, когда заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня) и, в частности, для нахождения производной от показательно-степенной функции \displaystyle y=u^{v}, где u и v — функции от x.
Пример 1. Найти производные следующих функций:
1) \displaystyle y=x^{x};
2) \displaystyle r=(\cos \alpha )^{\sin 2\alpha };
3) \displaystyle s=\frac{2t}{\sqrt{1-t^{2}}};
4) \displaystyle R=(x-1)\sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-2)}.
Решение. Применяя логарифмическое дифференцирование, последовательно находим:
1) а) \displaystyle \ln y=x\ln x;
б) \displaystyle \frac{y'}{y}=x'\ln x+x(\ln x)'=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1;$
в) \displaystyle y'=y(1+\ln x)=x^{x}(1+\ln x).
2) a) \displaystyle \ln r=\sin 2\alpha \ln \cos \alpha ;
б) \displaystyle \frac{r'}{r}=(\sin 2\alpha )'\ln \cos \alpha +\sin 2\alpha (\ln \cos \alpha )'=2\cos 2\alpha \ln \cos \alpha +\sin 2\alpha \left ( -\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \right )=
=2\cos 2\alpha \ln \cos \alpha -2\sin ^{2}\alpha;
в) \displaystyle r'=2(\cos 2\alpha \ln \cos \alpha -\sin ^{2}\alpha )(\cos \alpha )^{\sin 2\alpha }.
3) a) \displaystyle \ln s=\ln 2+\ln t-\frac{1}{2}\ln (1-t^{2});
б) \displaystyle \frac{s'}{s}=\frac{1}{t}-\frac{1}{2}\cdot \frac{-2t}{1-t^{2}}=\frac{1}{t}+\frac{t}{1-t^{2}}=\frac{1}{t(1-t^{2})};
в) \displaystyle s'=\frac{s}{t(1-t^{2})}=\frac{2t}{t(1-t^{2})\sqrt{1-t^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{(1-t^{2})^{3}}}.
4) a) \displaystyle \ln R=\ln (x-1)+\frac{2}{3}\ln (x+1)+\frac{1}{3}\ln (x-2);
б) \displaystyle \frac{R'}{R}=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{3(x+1)}+\frac{1}{3(x-2)}=\frac{2x^{2}-3x-1}{(x^{2}-1)(x-2)};
в) \displaystyle R'=\frac{2x^{2}-3x-1}{(x^{2}-1)(x-2)}(x-1)\sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-2)}=\frac{2x^{2}-3x-1}{\sqrt[3]{(x+1)(x-2)^{2}}}.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

18 − десять =