Непрерывность и точки разрыва функции. Практикум по математическому анализу. Урок 21

Функция \displaystyle y=f(x) называется непрерывной в точке \displaystyle x_{0}, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента \displaystyle x-x_{0}=\Delta x соответствует бесконечно малое приращение функции \displaystyle y-y_{0}=\Delta y, т. е. если
\displaystyle \underset{\Delta x \to 0 }{\textrm{lim}}\Delta y=\underset{\Delta x \to 0 }{\textrm{lim}}\left [ f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) \right ]=0.
Этому определению равносильно следующее:

загрузка...

Функция f(x) называется непрерывной в точке \displaystyle x_{0}, если при \displaystyle x \to x_{0} предел функции существует и равен ее частному значению в этой точке, т. е. если \displaystyle \underset{x \to x_{0} }{\textrm{lim}}f(x)=f(x_{0}).
Для непрерывности функции f(x) в точке \displaystyle x_{0} необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1) функция должна быть определена в некотором интервале, содержащем точку \displaystyle x_{0} (т. е. в самой точке \displaystyle x_{0} и вблизи этой точки);
2) функция должна иметь одинаковые односторонние пределы \displaystyle \underset{x \to x_{0}-0 }{\textrm{lim}}f(x)=\underset{x \to x_{0}+0 }{\textrm{lim}}f(x);
3) эти односторонние пределы должны быть равны \displaystyle f(x_{0}).

Функция f(x) называется разрывной в точке \displaystyle x_{0}, если она определена в сколь угодно близких точках, но в самой точке \displaystyle x_{0} не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.
Разрыв функции f(x) в точке \displaystyle x_{0} называется конечным, или 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы \displaystyle \underset{x \to x_{0}-0 }{\textrm{lim}}f(x) и \displaystyle \underset{x \to x_{0}+0 }{\textrm{lim}}f(x). Все другие случаи разрыва функции называются разрывами 2-го рода; в частности, если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то и разрыв функции называется бесконечным.

Скачком функции f(x) в точке разрыва \displaystyle x_{0} называется разность ее односторонних пределов \displaystyle \underset{x \to x_{0}+0 }{\textrm{lim}}f(x)-\underset{x \to x_{0}-0 }{\textrm{lim}}f(x), если они различны.
Если точка \displaystyle x_{0} является левой или правой границей области определения функции f(x), то следует рассматривать значения функции соответственно только справа или только слева от этой точки и в самой точке. При этом:
1) если граничная точка \displaystyle x_{0} входит в область определения функции, то она будет точкой непрерывности или точкой разрыва функции, смотря по тому, будет ли предел функции при \displaystyle x \to x_{0} изнутри ее области определения равен или не равен \displaystyle f(x_{0});
2) если граничная точка \displaystyle x_{0} не входит в область определения функции, то она является точкой разрыва функции.
Функция называется непрерывной в некотором интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала.
Все элементарные функции непрерывны в тех интервалах, в которых они определены.

При отыскании точек разрыва функции можно руководствоваться следующими положениями:
1. Элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках, но не может быть разрывной во всех точках какого-либо интервала.
2. Элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, где она не определена, при условии, если она будет определена хотя бы с одной стороны от этой точки в сколь угодно близких к ней точках.
3. Неэлементарная функция может иметь разрывы как в точках, где она не определена, так и в точках, где она определена; в частности, если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов изменения аргумента, то она может иметь разрывы в тех точках, где меняется ее аналитическое выражение (неэлементарные функции могут иметь весьма сложную структуру и могут быть определены и вместе с тем разрывны в каждой точке числовой оси).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: