Переменные величины и функции, их обозначение. Решение задач. Практикум по математическому анализу. Урок 2

Пример 1. Определить и построить на числовой оси области изменения переменных x,t и a, заданные следующими неравенствами:
\displaystyle 1)\: x^{2}\leq 4;\: 2)\: \left | t-1 \right |>0;\: 3)\: -9\leq 1-2\alpha <5.
Решение. 1) Извлекая квадратный корень из обеих частей первого неравенства, получим \displaystyle \left | x \right |\leq 2. Отсюда следует, что \displaystyle -2\leq x\leq 2. Эти неравенства и определяют собой область изменения переменной x, т. е. совокупность принимаемых ею числовых значений.

Она представляет закрытый интервал или отрезок [—2; 2]. Построим этот отрезок на числовой оси Ox (рис. 1); он будет симметричен относительно начальной точки x=0.
peremennye_002

Рис. 1                                                   Рис. 2

2) Избавляясь от знака абсолютной величины в неравенстве, содержащем t, получим два неравенства: \displaystyle t-2<-3 и \displaystyle t-2>3. Разрешая их относительно t, найдем t<-1 и t>5. Следовательно, область изменения переменной t (рис. 2) состоит из двух бесконечных открытых интервалов \displaystyle (-\infty ;-1) и \displaystyle (5;+\infty).
3) Решаем неравенства, содержащие \displaystyle \alpha. Вычитая из всех частей неравенств по единице и затем деля их на —2, получим \displaystyle -10\leq -2\alpha <4,\; -2<\alpha \leq 5. Следовательно, область изменения переменной а (рис. 3) представляет полуоткрытый интервал \displaystyle (-2;5].
Пример 2. Вычислить частное значение функции:
1) \displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}-5x+4} а) при x=0; б) при x=a+1;
2) \displaystyle \phi (x)=2\arcsin x+arctg\: 2x при \displaystyle x=-\frac{1}{2};

3) \displaystyle y=x^{2}\arccos \frac{x}{2}-3x\: arcctg\: x при \displaystyle x=-1.
Решение. 1a) Подставляя значение x=0, получим соответствующее частное значение функции \displaystyle f(x): \displaystyle f(0)=\sqrt{0^{2}-5\cdot 0+4}=\sqrt{4}=2. Здесь взято арифметическое значение корня, а не ±2. Вообще в математическом анализе рассматриваются только однозначные функции, которые могут иметь только одно значение при каждом значении аргумента.
1б) При x=a+1 частное значение функции \displaystyle f(x) будет \displaystyle f(a+1)=\sqrt{(a+1)^{2}-5\cdot (a+1)+4}=\sqrt{a^{2}-3a}.
2) Частное значение функции \displaystyle \phi (x) при \displaystyle x=-\frac{1}{2}:
\displaystyle \phi \left ( -\frac{1}{2} \right )=2\arcsin \left ( -\frac{1}{2} \right )+arctg(-1)=2\left ( -\frac{\pi }{6} \right )+\left ( -\frac{\pi }{4} \right )=-\frac{7}{12}\pi.
Здесь учтено, что \displaystyle \arcsin x и \displaystyle arctg \: x— однозначные функции, изменяющиеся между \displaystyle -\frac{\pi }{2} и \displaystyle \frac{\pi }{2} (поскольку \displaystyle -\frac{\pi }{2}\leq \arcsin x\leq \frac{\pi }{2};\; -\frac{\pi }{2}<arctg\: x< \frac{\pi }{2}). При \displaystyle x>0 их значения берутся в первой четверти, а при \displaystyle x<0 — в четвертой.
3) При \displaystyle x=-1 частное значение функции y будет
\displaystyle y(-1)=(-1)^{2}\arccos\left ( -\frac{1}{2} \right )-3(-1)arcctg(-1)=\frac{2}{3}\pi +\frac{9}{4}\pi =\frac{35}{12}\pi ,
так как \displaystyle \arccos x и \displaystyle arcctg x — однозначные функции, изменяющиеся от 0 до \displaystyle \pi (поскольку \displaystyle 0\leq \arccos x\leq \pi ;\; 0<arcctg\: x<\pi). При \displaystyle x>0 их значения берутся в первой четверти, а при \displaystyle x<0 — во второй.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

!--noindex-->