Переменные величины и функции, их обозначение. Решение задач. Практикум по математическому анализу. Урок 3

Пример 3. Найти корни \displaystyle x_{1} и \displaystyle x_{2} функции \displaystyle F(x)=x^{2}+10x+9 и вычислить ее частные значения при x, равном среднему арифметическому и среднему геометрическому этих корней.
Решение. Корнями функции называются значения аргумента, которые обращают ее в нуль.
Определим корни функции \displaystyle F(x), приравняв ее нулю:


\displaystyle x^{2}+10x+9=0, откуда \displaystyle x_{1}=-9,x_{2}=-1.
Среднее арифметическое корней \displaystyle x_{1} и \displaystyle x_{2} равно их полусумме \displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-9-1}{2}=-5, а среднее геометрическое — квадратному корню из их произведения \displaystyle \sqrt{x_{1}x_{2}}=\sqrt{9}=3. Искомые частные значения функции F(x) будут:
\displaystyle F(-5)=(-5)^{2}+10\cdot (-5)+9=-16;
\displaystyle F(3)=3^{2}+10\cdot 3+9=48.
Пример 4. Дана функция \displaystyle P(x)=x^{2}-2x+\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x}.
Показать, что \displaystyle P\left ( \frac{1}{x} \right )=P(x).
Решение. Найдем \displaystyle P\left ( \frac{1}{x} \right ), подставляя \displaystyle \frac{1}{x} вместо x в данное аналитическое выражение функции P(x),
\displaystyle P\left ( \frac{1}{x} \right )=\left ( \frac{1}{x} \right )^{2}-2\left ( \frac{1}{x} \right )+\frac{1}{\left ( \frac{1}{x} \right )^{2}}-\frac{2}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x}+x^{2}-2x.
Следовательно, \displaystyle P\left ( \frac{1}{x} \right )=P(x) при любом значении x. Например,
\displaystyle P\left ( \frac{1}{2} \right )=P(2)=-\frac{3}{4};\; P(-10)=P(-0,1)=120,21.
Пример 5. Определить, какая из данных функций является четной, нечетной или ни четной ни нечетной:
\displaystyle 1)\: f(x)=\frac{x^{2}}{\sin 2x};\; 2)\: \phi (x)=4-2x^{4}+\sin ^{2}x;
\displaystyle 3)\: u(x)=x^{3}+2x-1;\; y(x)=\frac{1+a^{kx}}{1-a^{kx}}.
Решение. Чтобы определить, будет ли некоторая функция \displaystyle Q(x) четной или нечетной, необходимо найти \displaystyle Q(-x) . Заменяя x через -x, получим:
1) \displaystyle f(-x)=\frac{(-x)^{2}}{\sin 2(-x)}=\frac{x^{2}}{-\sin 2x}=-\frac{x^{2}}{\sin 2x},
т. е. f(-x)=-f(x), значит, функция f(x) нечетная;
2) \displaystyle \phi (-x)=4-2(-x)^{4}+\sin ^{2}(-x)=4-2x^{4}+\sin ^{2}x,
т. е. \displaystyle \phi (-x)=\phi (x), следовательно, функция \displaystyle \phi (x) - четная;
3) \displaystyle u(-x)=(-x)^{3}+2(-x)-1=-x^{3}-2x-1,
здесь \displaystyle u(-x)\neq u(x) и \displaystyle u(-x)\neq -u(x), поэтому функция \displaystyle u(x)) не четная и не нечетная;
4) \displaystyle y(-x)=\frac{1+a^{-kx}}{1-a^{-kx}}=\frac{a^{kx}+1}{a^{kx}-1}
(числитель и знаменатель первой дроби умножены на \displaystyle a^{kx}), т. е. y(-x)=-y(x), следовательно, функция y(x) - нечетная.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

!--noindex-->