Построение графика функции путем сдвига и деформации графика другой функции. Практикум по математическому анализу. Урок 8

Зная график какой-либо функции, можно построить графики многих других более сложных функций чисто геометрическим путем, без составления таблицы числовых значений переменных.
Так, исходя из графика функции y=f(x), можно посредством его сдвига или деформации построить графики для функций вида y=f(x-a), y=f(x)+b, y=Af(x), y=f(kx), y=Af[k(x-a)]+b.


График функции y=f(x-a) получается из исходного графика путем сдвига его вдоль оси абсцисс на a масштабных единиц этой оси, вправо при a>0 и влево при a<0 (рис.1). График функции y=f(x)+b получается из исходного графика путем сдвига его вдоль оси ординат на b масштабных единиц этой оси, вверх при b>0 и вниз при b<0 (рис.1).
grafiki_028

Рис.1

График функции y=Af(x) получается из исходного путем умножения ординат его точек на коэффициент A. При этом, если |A|>1, то ординаты всех точек исходного графика увеличиваются по абсолютной величине в |A| раз, если |A|<1, то они уменьшаются по абсолютной величине в \displaystyle \frac{1}{|A|} раз, если A<0, то изменяются еще и их знаки. График функции y=Af(x) при A<0 будет симметричен графику функции y=|A|f(x) относительно оси абсцисс (рис.2). График функции y=f(kx) получается из исходного графика путем деления абсцисс его точек на коэффициент k. При этом, если |k|>1, то абсциссы всех точек исходного графика уменьшаются по абсолютной величине в |k| раз; если |k|<1,то они увеличиваются по абсолютной величине в \displaystyle \frac{1}{|k|} раз;
grafiki_030

Рис.2                                                                                   Рис.3

если k<0, то изменяются еще и их знаки. График функции y=f(kx), при k<0, симметричен графику функцииy=f(|k|x) относительно оси ординат (рис.3).
Выполняя указанные сдвиги и деформации графика функции y=f(x) в последовательном порядке, одно вслед за другим, можно строить графики и для функций более сложного вида:

y=Af[k(x-a)]+b.                                              (1)

Пример 1. Построить по точкам график функции \displaystyle y=\sqrt{x} на отрезке [0; 9] и затем, исходя из этого графика, путем последовательных деформаций его и сдвигов, построить график функции \displaystyle y=2\sqrt{-3(x+1,5)}-1,2.
Решение. Составим таблицу соответственных значений переменных ? и y для функции \displaystyle y=\sqrt{x} и построим ее график (рис.4).
grafiki_032

Рис.4

Обозначим функцию \displaystyle \sqrt{u} символом f(u). Тогда данная функция преобразуется к виду

\displaystyle y=2f[-3(x+1,5)]-1,2.

Сопоставляя ее с выражением (1), находим следующие значения параметров: A=2;k=-3;a=-1,5;b=-1,2.
Далее, согласно общим указаниям, строим искомый график следующим путем:

1) увеличивая в 2 раза ординаты точек графика функции \displaystyle y=\sqrt{x} и сохраняя неизменными их абсциссы, строим график функции \displaystyle y=2\sqrt{x};
2) уменьшая в Зраза абсциссы точек графика функции \displaystyle y=2\sqrt{x} и сохраняя неизменными их ординаты, строим график функции \displaystyle y=2\sqrt{3x};
3) меняя знаки у абсцисс точек графика функции \displaystyle y=2\sqrt{3x} и сохраняя неизменными их ординаты, строим график функции \displaystyle y=2\sqrt{-3x} (графики функций \displaystyle y=2\sqrt{3x} и \displaystyle y=2\sqrt{-3x} симметричны относительно оси ординат);
4) перенося точки графика функции \displaystyle y=2\sqrt{-3x} в направлении оси абсцисс на 1,5 единицы масштаба этой оси влево, строим график функции \displaystyle y=2\sqrt{-3(x+1,5)};
4) перенося точки графика функции \displaystyle y=2\sqrt{-3(x+1,5)} в направлении оси ординат на 1,2 единицы масштаба этой оси вниз, строим искомый график функции у-=2 \displaystyle y=2\sqrt{-3(x+1,5)}-1,2.
Пример 2. Исходя из графика функции \displaystyle y=\sin x, путем его деформаций и сдвигов построить график функции \displaystyle y=-3\sin (2x+8).
Решение. Заменяя в выражении (1) символ произвольной функции f символом тригонометрической функции sin, получим

\displaystyle y=A\sin k(x-a)+b.                                 (2)

Преобразуем данную функцию:

\displaystyle y=-3\sin (2x+8)=-3\sin (x+4)

и, сопоставляя ее с выражением (2), определим следующие значения параметров: A=-3; k=2; a=-4; b=0.
Построение искомого графика выполняем, руководствуясь общими указаниями:
1) увеличивая в 3 раза ординаты точек графика функции \displaystyle y=\sin x по абсолютной величине, меняя их знаки и сохраняя неизменными абсциссы, строим график функции \displaystyle y=-3\sin x (рис.5);
2) уменьшая в 2 раза абсциссы точек графика функции \displaystyle y=-3\sin x и сохраняя неизменными их ординаты, строим график функции \displaystyle y=-3\sin 2x;
grafiki_034

Рис.5

3) перенося точки графика функции \displaystyle y=-3\sin 2x в направлении оси абсцисс на 4 единицы масштаба этой оси влево, строим искомый график функции \displaystyle y=-3\sin 2(x+4).
Пользуясь периодичностью данной функции, полученный график можно продолжить в обе стороны.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

!--noindex-->