Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции. Практикум по математическому анализу. Урок 9

matan_9

Переменная как упорядоченное числовое множество. Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции

Переменная величина определяется не только множеством тех числовых значений, которые она принимает, но и тем порядком, в котором они следуют друг за другом. Поэтому в математическом анализе переменная рассматривается как множество чисел, расположенных в известной последовательности, m. е. как упорядоченное числовое множество.


Простейшим частным случаем переменной является такая величина v, последовательные значения которой могут быть перенумерованы: \displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{n},....
Такое простейшего вида упорядоченное числовое множество называется числовой последовательностью.
I. Число a называется пределом переменной x, если абсолютное значение их разности a-x для всех значений x, следующих за некоторым значением \displaystyle x_{0}, будет меньше любого заранее данного положительного числа \displaystyle \varepsilon, как бы мало оно ни было.
II. Переменная a называется бесконечно малой, если все ее значения, следующие за некоторым значением \displaystyle a_{0}, по абсолютному значению будут меньше любого заранее данного положительного числа \displaystyle \varepsilon, как бы мало оно ни было.
III. Переменная z называется бесконечно большой, если все ее значения, следующие за некоторым значением \displaystyle z_{0}, по абсолютному значению будут больше любого заранее данного положительного числа N, как бы велико оно ни было.
Если число a есть предел переменной x, то говорят, что x стремится к a и пишут: \displaystyle \textrm{lim} \: x=a, или \displaystyle x\rightarrow a.
Бесконечно большая величина z не имеет предела, однако для сокращения речи и записей условно говорят, что z стремится к бесконечности, или предел z равен бесконечности, и пишут \displaystyle z\rightarrow \infty, или \displaystyle \textrm{lim} \: z= \infty.
Говорят и пишут также, что \displaystyle z\rightarrow +\infty ,\; \textrm{lim}\: z=+\infty, или \displaystyle z\rightarrow -\infty ,\; \textrm{lim}\: z=-\infty, если все значения бесконечно большой z, следующие за некоторым значением \displaystyle z_{0}, сохраняют положительный или отрицательный знак.
Из определений предела переменной, бесконечно малой и бесконечно большой величин следует:
1) предел бесконечно малой равен нулю (т. е. если \displaystyle \alpha - бесконечно малая, то \displaystyle \textrm{lim}\: \alpha =0, или \displaystyle \alpha \rightarrow 0);
2) разность между переменной и ее пределом есть величина бесконечно малая (т. е. если \displaystyle \textrm{lim}\: x=a, то \displaystyle x-a=\alpha);
3) величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая (т.е. если \displaystyle z\rightarrow \infty, то \displaystyle \frac{1}{z}\rightarrow 0);
4) величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая (т. е. если \displaystyle \alpha \rightarrow 0, \displaystyle \frac{1}{\alpha}\rightarrow \infty).
Если \displaystyle f(x)\rightarrow b когда \displaystyle x\rightarrow a не совпадая с a, то число b называется пределом функции f(x) в точке a.
Предел функции можно определить иначе, не ссылаясь на определение предела переменной: Число b называется пределом функции f(x) при \displaystyle x\rightarrow a (в точке a), если для каждого числа \displaystyle \varepsilon >0 можно найти такое число \displaystyle \delta >0, что \displaystyle \left | f(x)-b \right | будет меньше \displaystyle \varepsilon, когда \displaystyle \left | x-a \right |, при \displaystyle x\neq a, меньше \displaystyle \delta.
Если число b есть предел функции f(x) при x, стремящемся к a, то пишут:
\displaystyle \underset{x\rightarrow a}{\textrm{lim}}\: f(x)=b, когда x стремится к a произвольным способом;
\displaystyle \underset{x\rightarrow a-0}{\textrm{lim}}\: f(x)=b, когда x стремится к a слева, оставаясь меньше \displaystyle \alpha;
\displaystyle \underset{x\rightarrow a+0}{\textrm{lim}}\: f(x)=b, когда x стремится к a справа, оставаясь больше a.
Замечание. Если a=0, то вместо 0+0 (0-0) пишут просто +0 (-0).
При этом, если существует предел функции, когда \displaystyle x\rightarrow a произвольным способом, то существуют и будут с ним одинаковы односторонние пределы функции, когда \displaystyle x\rightarrow a только слева или только справа, т. е.
если \displaystyle \underset{x\rightarrow a}{\textrm{lim}}\: f(x)=b, то \displaystyle \underset{x\rightarrow a-0}{\textrm{lim}}\: f(x)= \underset{x\rightarrow a+0}{\textrm{lim}}\: f(x)=b.
Если же односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует, то не существует и предел функции при \displaystyle x\rightarrow a произвольным способом, т. е.
если \displaystyle \underset{x\rightarrow a-0}{\textrm{lim}}\: f(x)\neq \underset{x\rightarrow a+0}{\textrm{lim}}\: f(x), то \displaystyle \underset{x\rightarrow a}{\textrm{lim}}\: f(x) не существует.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: