Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 10

matan_10

Пример 1. Полагая n=0,1,2,3,..., составить таблицу значений переменных
\displaystyle x=1+0,1^{n};y=-0,1^{-n}; z=(-0,1)^{n},u=(-1)^{n}+0,1^{n} и определить характер их изменения при неограниченном увеличении n, т. е. при \displaystyle n\rightarrow \infty.
Решение. Вычисляя значения заданных переменных при указанных значениях n, получим следующую таблицу:


prede_002
Из рассмотрения этой таблицы можно заключить:
1) С увеличением n последовательные значения переменной x приближаются к единице так, что при достаточно большом n абсолютное значение их разности \displaystyle \left | x-1 \right | будет меньше любого заранее данного положительного числа \displaystyle \varepsilon, как бы мало оно ни было.
Это же можно и доказать. Пусть задано число \displaystyle \varepsilon >0. Полагая \displaystyle \left | x-1 \right |=0,1^{n}<\varepsilon, находим, логарифмируя обе части неравенства, \displaystyle n>\textrm{lg}\: \frac{1}{\varepsilon } т. е. \displaystyle \left | x-1 \right | будет меньше \displaystyle \varepsilon, как только n станет больше \displaystyle \textrm{lg}\: \frac{1}{\varepsilon }. Следовательно, согласно определению I переменная x имеет предел, равный единице, \displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}x=1, к которому она стремится справа, оставаясь больше его, т. е. монотонно (неизменно) убывая.
2) Последовательные значения переменной y с увеличением n неограниченно убывают так, что при достаточно большом n они по абсолютному значению будут больше любого заданного положительного числа N, как бы велико оно ни было. Докажем это.
Пусть задано число N>0. Полагая \displaystyle \left | y \right |=0,1^{-n}>N, находим, логарифмируя обе части неравенства, \displaystyle n>\textrm{lg}\: N т. е. \displaystyle \left | y \right | будет больше N, как только n станет больше \displaystyle \textrm{lg}\: N. Следовательно, согласно определению III, переменная y есть бесконечно большая величина: \displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}y=-\infty.
3) С увеличением n последовательные значения переменной z приближаются к нулю так, что при достаточно большом n они по абсолютному значению будут меньше любого заданного положительного числа \displaystyle \varepsilon, как бы мало оно ни было. Докажем это.
Пусть задано число \displaystyle \varepsilon >0. Полагая \displaystyle \left | z \right |=0,1^{n}<\varepsilon, находим, логарифмируя обе части неравенства, \displaystyle n>\textrm{lg}\: \frac{1}{\varepsilon }, т. е. \displaystyle \left | z \right | будет меньше \displaystyle \varepsilon, как только n станет больше \displaystyle \textrm{lg}\: \frac{1}{\varepsilon }. Следовательно, согласно определению II переменная z есть бесконечно малая величина: \displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}z=0. Она стремится к своему пределу — нулю, колеблясь около него, т. е. не монотонно.
4) Последовательные значения переменной u с увеличением n не приближаются ни к какому определенному числу. Поэтому переменная u не имеет предела. Она не является и бесконечно большой, так как ее значения не растут безгранично вместе с n. Переменная u — ограниченная величина.
Пример 2. Доказать, что \displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}a^{n}=\left\{\begin{matrix} 0,\textrm{if}\: 0<a<1,\\ +\infty , \textrm{if}\: a>0. \end{matrix}\right. (if - если (англ.))
Решение. 1) Пусть постоянная a есть правильная положительная дробь 0<a<1. Тогда с увеличением n переменная \displaystyle f(n)=a^{n} будет монотонно убывать, т. е. каждое следующее ее значение будет меньше предыдущего. Докажем, что, начиная с определенного значения \displaystyle n=n_{0} и для всех последующих значений \displaystyle n>n_{0}, значения функции \displaystyle a^{n} будут меньше любого заданного положительного числа \displaystyle \varepsilon.
Полагая \displaystyle a^{n_{0}}<\varepsilon, найдем искомое значение \displaystyle n_{0}. Логарифмируя обе части неравенства, получим \displaystyle n_{0}\textrm{lg}\: a<\textrm{lg}\: \varepsilon, откуда найдем \displaystyle n_{0}>\frac{\textrm{lg}\: \varepsilon }{\textrm{lg}\: a}. (Знак неравенства изменился, так как при 0<a<1 \displaystyle \textrm{lg}\: a<0). Следовательно, значение функции \displaystyle a^{n} при \displaystyle n=n_{0} и все последующие ее значения при \displaystyle n>n_{0} будут меньше \displaystyle \varepsilon, как бы мало оно ни было, т. е. доказано, что при 0<a<1 и при \displaystyle n\rightarrow +\infty функция \displaystyle a^{n} является бесконечно малой величиной, т. е. \displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}a^{n}=0. 2) Пусть a>1. Тогда с увеличением n переменная \displaystyle a^{n} будет монотонно возрастать. Докажем, что, начиная с определенного значения \displaystyle n=n_{0} и для всех последующих значений \displaystyle n>n_{0}, значения функции \displaystyle a^{n} будут больше любого заданного положительного числа N.
Полагая \displaystyle a^{n}>N найдем \displaystyle n_{0}>\frac{\textrm{lg}\: N }{\textrm{lg}\: a}.
Следовательно, для всех значений \displaystyle n\geq n_{0} значения функции \displaystyle a^{n} будут больше N, как бы велико оно ни было, т. е. доказано, что при a>1 и при \displaystyle n\rightarrow +\infty функция \displaystyle a^{n} является положительной бесконечно большой величиной, т. е. \displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}a^{n}=+\infty.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: