Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 11

matan_11

Пример 3. Доказать, что:
1) \displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{2x+3}{3x}=\frac{2}{3}.
2) \displaystyle \underset{x \to 3}{\textrm{lim}}(2x+1)=7.
Решение.
1) Составим разность \displaystyle \frac{2x+3}{3x}-\frac{2}{3}=\frac{1}{x}. При \displaystyle x \to \infty эта разность является бесконечно малой, как величина, обратная бесконечно большой.

А если переменная \displaystyle \frac{2x+3}{3x} отличается от постоянной \displaystyle \frac{2}{3} на величину бесконечно малую, то постоянная является пределом переменной. Следовательно, \displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{2x+3}{3x}=\frac{2}{3}.
2) Положим \displaystyle x=3+\alpha и составим разность: \displaystyle (2x+1)-7=[2(3+\alpha)+1]-7=2\alpha. При \displaystyle x \to 3 переменная \displaystyle \alpha \to 0 и разность между функцией 2x+1 и числом 7, т. е. \displaystyle 2\alpha, будет бесконечно малой. Из этого следует, что \displaystyle \underset{x \to 3}{\textrm{lim}}(2x+1)=7.
Пример 4. Найти пределы функции \displaystyle y=\frac{5}{2-x}:
1) при \displaystyle x \to 2-0;
2) при \displaystyle x \to 2+0.
Пояснить решение таблицами.
Решение. 1) Если x будет стремиться к 2 слева, оставаясь меньше 2, то 2-x будет положительная бесконечно малая, a \displaystyle \frac{5}{2-x} будет положительная бесконечно большая, т. е. если \displaystyle x \to 2-0, то \displaystyle (2-x) \to +0, а \displaystyle \frac{5}{2-x} \to +\infty, или \displaystyle \underset{x \to 2-0}{\textrm{lim}}\frac{5}{2-x}=+\infty.
Указанное поведение переменных x, 2-x и \displaystyle \frac{5}{2-x} поясняется следующей таблицей:
prede_004
2) Если \displaystyle x \to 2+0, то \displaystyle (2-x) \to -0, a \displaystyle \frac{5}{2-x} \to -\infty или \displaystyle \underset{x \to 2+0}{\textrm{lim}}\frac{5}{2-x}=-\infty.
Таблица соответствующих значений переменных x, 2-x и \displaystyle \frac{5}{2-x} наглядно показывает их поведение:
prede_006
График функции \displaystyle y=\frac{5}{2-x} изображен на рис. 1.
prede_008

Рис.1                                                                         Рис.2

Пример 5. Найти пределы функции \displaystyle y=2^{\frac{1}{x}} при x, стремящемся к нулю: 1) слева, 2) справа и 3) произвольным способом.
Решение. 1) Если переменная x будет стремиться к нулю слева, оставаясь отрицательной, т. е. если x будет отрицательной бесконечно малой, то \displaystyle \frac{1}{x} будет отрицательной бесконечно большой и \displaystyle \underset{x \to -0}{\textrm{lim}}2^{\frac{1}{x}}=\underset{x \to -0}{\textrm{lim}}\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{1}{x}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{+\infty }=0, что следует из решения задачи 2 (урок 10).
2) Если \displaystyle x \to +0, то \displaystyle \frac{1}{x} \to +\infty и \displaystyle \underset{x \to +0}{\textrm{lim}}2^{\frac{1}{x}}=2^{+\infty }=+\infty.
3) Если x будет стремиться к нулю произвольным способом, не оставаясь с одной стороны от него (например, как z в задаче 1(урок 10) ), то \displaystyle \frac{1}{x} будет стремиться к бесконечности, принимая значения разных знаков. Вследствие этого при \displaystyle x \to 0 функция \displaystyle 2^{\frac{1}{x}} не имеет предела, не будучи при этом и бесконечно большой величиной \displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}2^{\frac{1}{x}}=2^{\infty } не существует.
График функции \displaystyle y=2^{\frac{1}{x}} показан на рис. 2.
Пример 6. Найти пределы функции \displaystyle y=\textrm{arctg}\frac{1}{x}: 1) при \displaystyle x \to -0; 2) при \displaystyle x \to +0 и 3) при \displaystyle x \to 0.
Решение.
1) Если \displaystyle x \to -0, то \displaystyle \frac{1}{x}\to -\infty, a \displaystyle \textrm{arctg}\frac{1}{x} \to -\frac{\pi }{2}, т. е. \displaystyle \underset{x \to -0}{\textrm{lim}}\textrm{arctg}\frac{1}{x} = \textrm{arctg}(-\infty )=-\frac{\pi }{2}.
2) Если \displaystyle x \to +0, то \displaystyle \frac{1}{x} \to +\infty, a \displaystyle \textrm{arctg}\frac{1}{x} \to \frac{\pi }{2}, т. е. \displaystyle \underset{x \to +0}{\textrm{lim}}\textrm{arctg}\frac{1}{x} = \textrm{arctg}(+\infty )=\frac{\pi }{2}.
3) Если \displaystyle x \to 0, то \displaystyle \frac{1}{x} \to \infty, a \displaystyle \textrm{arctg}\frac{1}{x} не стремится ни к какому значению, т. е. \displaystyle \underset{x \to +0}{\textrm{lim}}\textrm{arctg}\frac{1}{x} = \textrm{arctg} \infty не существует,
График этой функции показан на рис. 3.
prede_010

Рис. 3

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: