Производная сложной функции. Практикум по математическому анализу. Урок 28

Если \displaystyle y=f(u), где \displaystyle u=\varphi (x), т. е. если y зависит от x через посредство промежуточного аргумента u, то y называется сложной функцией от x.
Производная сложной функции равна произведению её производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx} или \displaystyle y'=f'(u)\cdot u'(x).
Так, если \displaystyle u=\varphi (x), то формулы 5, б, 7, 8 и 9 из предыдущего урока будут иметь следующий общий вид:

загрузка...

5) \displaystyle (u^{n})'=nu^{n-1}\cdot u';
6) \displaystyle (\sin u)'=\cos u\cdot u';
7) \displaystyle (\cos u)'=-\sin u\cdot u';
8) \displaystyle (tg\: u)'=\frac{1}{\cos ^{2}u}\cdot u';
9) \displaystyle (ctg\: u)'=-\frac{1}{\sin ^{2}u}\cdot u'.
Полезно запомнить словесные выражения формул дифференцирования:

  • производная степени равна показателю, умноженному на то же основание с показателем на единицу меньше, и на производную основания;
  • производная синуса равна косинусу того же аргумента, умноженному на производную от аргумента.

Выразить словесно остальные формулы дифференцирования рекомендуется самостоятельно.
Напомним первые четыре формулы из предыдущего урока, которые пригодятся нам в дальнейшем:
1) \displaystyle {(c)}'=0
2) \displaystyle {u+v-w}'={u}'+{v}'-{w}'
3) \displaystyle {uv}'={u}'v+{v}'u
4) \displaystyle {\left ( \frac{u}{v} \right )}'=\frac{{u}'v-{v}'u}{v^{2}}
4a) \displaystyle {\left ( \frac{u}{c} \right )}'=\frac{{u}'}{c}
4б) \displaystyle {\left ( \frac{c}{v} \right )}'=-\frac{c{v}'}{v^{2}}


Пример 1. Найти производные следующих функций:
1) \displaystyle y=(1+5x)^{3};
2) \displaystyle y=\sin 5x;
3) \displaystyle y=\cos ^{2}x;
4) \displaystyle y=\sin x^{2};
5) \displaystyle y=\sqrt[3]{2+x^{4}}.
Решение. 1) Полагая \displaystyle y=u^{3}, где \displaystyle u=1+5x, и применяя правило дифференцирования сложной функции, имеем:
\displaystyle \frac{dy}{du}=3u^{2};\; \frac{du}{dx}=5;\; \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=3u^{2}\cdot 5=15(1+5x)^{2}.
Легко проверить правильность этого результата: возведя в куб и дифференцируя полученный многочлен, приходим к тому же ответу.
2) Полагая \displaystyle 5x=u и пользуясь формулами 6 и За, найдем

\displaystyle y'=(\sin 5x)'=(\sin u)'=\cos u\cdot u'=5\cos 5x.
3) Полагая \displaystyle \cos x=u и применяя формулы 5 и 7, получим
\displaystyle y'=(\cos ^{2}x)'=(u^{2})'=2u\cdot u'=2\cos x(-\sin x)=-\sin 2x.
4) При \displaystyle x^{2}=u по формулам 6 и 5 найдем
\displaystyle (\sin x^{2})'=(\sin u)'=\cos u\cdot u'=2x\cos x^{2}.
5) Полагаем \displaystyle 2+x^{4}=u, пользуясь формулой 5, имеем
\displaystyle (\sqrt[3]{2+x^{4}})'=(\sqrt[3]{u})'=\left ( u^{\frac{1}{3}} \right )'=\frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}u'=\frac{1}{3}(2+x^{4})^{-\frac{2}{3}}\cdot 4x^{3}=\frac{4x^{3}}{3\sqrt[3]{(2+x^{4})^{2}}}.
Дифференцирование этой сложной функции можно записать иначе:
\displaystyle (\sqrt[3]{2+x^{4}})'=\left ( (2+x^{4})\frac{1}{3} \right )'=\frac{1}{3}(2+x^{4})^{-\frac{2}{3}}(2+x^{4})'=
=\frac{4x^{3}}{3\sqrt[3]{(2+x^{4})^{2}}}.

Второй способ записи без особого обозначения промежуточного аргумента значительно проще. Этому способу записи и следует научиться при дифференцировании сложных функций.

Пример 2.
1) \displaystyle z=(3ax-x^{2})^{k}. Вычислить z'
2) \displaystyle \beta =2\sqrt{\sin \frac{\alpha }{3}}. Вычислить \displaystyle \frac{d\beta }{d\alpha }.
3) \displaystyle s=\left ( \frac{t}{2t+1} \right )^{10}. Вычислить s'(-1).
4) \displaystyle r=\sin ^{3}2\varphi -\cos ^{3}2\varphi. Вычислить \displaystyle r'\left ( \frac{\pi }{8} \right ).
Решение. 1) Применяя формулы 5 и 2, найдем
\displaystyle z'=k(3ax-x^{2})^{k-1}\cdot (3ax-x^{2})'=k(3a-2x)(3ax-x^{2})^{k-1}.
2) Используем формулы 5 и 6:
\displaystyle \beta '=2\cdot \frac{1}{2}\left ( \sin \frac{\alpha }{3} \right )^{-\frac{1}{2}}\cdot \left ( \sin \frac{\alpha }{3} \right )'=\left ( \sin \frac{\alpha }{3} \right )^{-\frac{1}{2}}\cdot \cos \frac{\alpha }{3}\cdot \left ( \frac{\alpha }{3} \right )'=\frac{\cos \frac{\alpha }{3}}{3\sqrt{\sin \frac{\alpha }{3}}}.
3) Применяем формулы 5 и 4:
\displaystyle s'=10\left ( \frac{t}{2t+1} \right )^{9}\cdot \frac{1\cdot (2t+1)-2\cdot t}{(2t+1)^{2}}=\frac{10t^{9}}{(2t+1)^{11}}.
При \displaystyle t=-1 получим \displaystyle s'(-1)=10.
4) Сначала запишем данную функцию в виде
\displaystyle r=(\sin 2\varphi )^{3}-(\cos 2\varphi )^{3},
что всегда полезно при дифференцировании степеней тригонометрических функций.
Пользуясь формулами 2, 5, 6 и 7, получим
\displaystyle r'=3(\sin 2\varphi )^{2}(\sin 2\varphi)'-3(\cos 2\varphi )^{2}(\cos 2\varphi)'=2\sin^{2}2\varphi \cdot 2\cos 2\varphi -3\cos ^{2}2\varphi \cdot (-2\sin 2\varphi )=3\sin 4\varphi (\sin 2\varphi +\cos 2\varphi ).
При \displaystyle \varphi =\frac{\pi }{8} найдем
\displaystyle r'\left ( \frac{\pi }{8} \right )=3\sin \frac{\pi }{2}\left ( \sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4} \right )=3\sqrt{2}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: