Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Основные формулы

Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Основные формулы

Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Основные формулы

poverhn037

Рис.1                    Рис.2

Прямолинейной образующей поверхности называется прямая линия, целиком лежащая на данной поверхности. Например, прямолинейные образующие конической и цилиндри­ческой поверхности.
Однополостный гиперболоид (рис.1,2)

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1


имеет два семейства прямолинейных образующих:

\left\{\begin{matrix} \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=k\left (1 +\frac{y}{b} \right ),\\ \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\frac{1}{k}\left (1 -\frac{y}{b} \right ) \end{matrix}\right.\; \; \; \; (1)


и

\left\{\begin{matrix} \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{1}{l}\left (1 -\frac{y}{b} \right ),\\ \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\frac{1}{l}\left (1 +\frac{y}{b} \right ), \end{matrix}\right.\; \; \; \; (2)


где k и l — произвольные параметры, не зависящие от х, у и z.
Каждая из систем (1) и (2) при определенных значениях k и l определяет прямую линию.
При произвольных k и l каждая система дает семейство прямых линий.
poverhn038

Рис.3

Гиперболический параболоид (рис.3)

\frac{x^{2}}{p}-\frac{y^{2}}{q}=2z


имеет также два семейства прямолинейных образующих:

\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{p}}+\frac{y}{\sqrt{q}}=2kz,\\ \frac{x}{\sqrt{p}}-\frac{y}{\sqrt{q}}=\frac{1}{k} \end{matrix}\right.\; \; \; (3)


и

\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{p}}+\frac{y}{\sqrt{q}}=\frac{1}{l},\\ \frac{x}{\sqrt{p}}-\frac{y}{\sqrt{q}}=2lz, \end{matrix}\right.\; \; \; (4)


где k и l — произвольные параметры.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

четыре × 4 =