Решение задач на формулу Байеса. Часть 1

Решение задач на формулу Байеса. Часть 1

Задача №1. Имеется 10 оданаковых по виду урн, в 9-й из которых находятся по 2 черных и 2 белых шара, а в одной - 5 белых и 1 черный. Из наудачу выбранной урны извлечен шар. Извлеченный шар оказался белым. Чему равна вероятность того, что этот шар извлечен из урны, содержащей 5 белых шаров?
Решение. Имеется 2 группы урн с различным составом шаров; 9 из имеющихся урн относятся к первой группе, одна урна - ко второй группе. Испытание состоит в том, что из наудачу выбранной урны извлекается шар. Рассмотрим гипотезы:
B_{1} - выбрана урна первой группы;
B_{2} - выбрана урна второй группы и
событие A - извлечение белого шара.
Вероятности гипотез B_{1} и B_{2} равны: P(B_{1})=9/10=0,9,\: P(B_{2})=1/10=0,1. Гипотезы B_{1} и B_{2} составляют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей гипотез равна P(B_{1})+ P(B_{2})=0,9+0,1=1.
Событие A может произойти только или вместе с событием B_{1}, или с событием B_{2}. До проведения испытания условная вероятность события A, вычисленная при условии, что оно наступило вместе с событием B_{1}, равна P_{B_{1}}(A)=2/4=1/2 (так как в каждой из урн первой группы среди четырех имеющихся шаров находятся 2 белых шара). До проведения испытания условная вероятность события A, вычисленная при условии, что оно наступило вместе с событием B_{2}, равна P_{B_{2}}(A)=5/6 (так как в урне второй группы среди шести имеющихся шаров находятся 5 белых).
Пусть событие A произошло: извлеченный из некоторой урны шар - белый. Переоценим вероятность второй гипотезы. По формуле (1) получим

P_{A}(B_{2})=\frac{P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}{P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}=\frac{0,1\cdot \frac{5}{6}}{0,1\cdot \frac{5}{6}+0,9\cdot \frac{1}{2}}=0,15625.

Задача №2. С первого автомата поступает на сборку 80% деталей, а со второго - 20% таких же деталей. На первом автомате брак составляет 1%, а на втором - 5%. Проверенная деталь оказалась бракованной. Что вероятнее: эта деталь изготовлена на первом автомате или же она изготовлена на втором автомате?
Решение. Испытание состоит в проверке качества детали. Рассмотрим события:
B_{1} - проверена деталь, изготовленная на первом автомате;
B_{2} - проверена деталь, изготовленная на втором автомате;
A - проверенная деталь является бракованной.
Безусловные вероятности гипотез - событий B_{1} и B_{2} до проведения испытания равны: P(B_{1})=0,8,\: P(B_{2})=0,2. Гипотезы B_{1} и B_{2} составляют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей этих событий равна P(B_{1})+P(B_{2})=1.
На первом автомате брак составляет 1%, поэтому P_{B_{1}}(A)=0,01. На втором автомате брак составляет 5%, поэтому P_{B_{2}}(A)=0,05.
Событие A может наступить или вместе с событием B_{1}, или с событием B_{2}.
Пусть событие A произошло. Переоценим вероятности гипотез. По формуле Бейеса найдем:

P_{A}(B_{2})=\frac{P(B_{1})P_{B_{1}}(A)}{P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}=\frac{0,8\cdot 0,01}{0,8\cdot 0,01+0,2\cdot 0,05}=\frac{4}{9};


P_{A}(B_{2})=\frac{P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}{P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}=\frac{0,2\cdot 0,05}{0,8\cdot 0,01+0,2\cdot 0,05}=\frac{5}{9}.


Получено, что

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

4 + десять =