Векторно-скалярное (смешанное) произведение трех векторов

Векторно-скалярное (смешанное) произведение трех векторов

Векторно-скалярным (или смешанным) произведением трех векторов \vec{a}, \vec{b} и \vec{c} называется число, равное векторному произведению \left[\vec{a}\vec{b} \right], умноженному скалярно на вектор \vec{c}, т. е. \left[\vec{a}\vec{b} \right]\vec{c}.
Векторно-скалярное произведение обозначается так:

\left[\vec{a}\vec{b} \right]\vec{c}=\left(\vec{a}\vec{b} \vec{c}\right)

.
Векторно-скалярное произведение \left(\vec{a}\vec{b} \vec{c}\right) имеет простой геометрический смысл; оно есть число, выражающее объем параллелепипеда, построенного на векторах \vec{a}, \vec{b} и \vec{c}, взятого со знаком плюс, если тройка \vec{a}, \vec{b} и \vec{c} правая, и со знаком минус, если эта тройка левая (рис.1).
vekt028

Рис.1

Векторы \vec{a}, \vec{b} и \vec{c} образуют правую тройку, если они расположены, как указано на рисунке 2, и левую тройку, если они расположены, как указано на рисунке 3. Круговая перестановка трех множителей векторно-скалярного произведения не меняет его величины.
vekt026

Рис.2

Перестановка двух соседних множителей меняет знак произведения:

\left(\vec{a}\vec{b} \vec{c}\right)=\left(\vec{b}\vec{c} \vec{a}\right)=\left(\vec{c}\vec{a} \vec{b}\right)=-\left(\vec{b}\vec{a} \vec{c}\right)=-\left(\vec{c}\vec{b} \vec{a}\right)=-\left(\vec{a}\vec{c} \vec{b}\right).


vekt030

Рис.3

Векторно-скалярное произведение равно нулю, если векторы компланарны.
Следовательно, равенство \left(\vec{a}\vec{b} \vec{c}\right)=0 есть условие компланарности трех векторов. Если векторы \vec{a}, \vec{b} и \vec{c} заданы своими проекциями:

\vec{a}=x_{1}\vec{i}+y_{1}\vec{j}+z_{1}\vec{k},


\vec{b}=x_{2}\vec{i}+y_{2}\vec{j}+z_{2}\vec{k},


\vec{c}=x_{3}\vec{i}+y_{3}\vec{j}+z_{3}\vec{k},


то векторно-скалярное произведение равно:

\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c} \right)=\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2}& z_{2}\\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{vmatrix}.\; \; \; \left(1 \right)


Отсюда, объем V параллелепипеда, построенного на векторах \vec{a}, \vec{b} и \vec{c}, вычисляется по формуле:

V =\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2}& z_{2}\\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{vmatrix}.\; \; \; \left(2 \right)


Условие, необходимое и достаточное для компланарности векторов, записывается так:

\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2}& z_{2}\\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{vmatrix}=0.\; \; \; \left(3 \right)


Объем треугольной пирамиды равен \frac{1}{6} абсолютной величины векторно-скалярного произведения, составленного из трех векторов - ребер, выходящих из одной вершины, т. е:

V=\frac{1}{6}\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2}& z_{2}\\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{vmatrix}=0.\; \; \; \left(4 \right)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

семнадцать + 20 =