Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 14

Предел функции не зависит от того, определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.
а) Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, ибо предел элементарной функции f(x) при x, стремящемся к значению a, которое входит в область ее определения, равен частному значению функции при x=a. т. е.


\displaystyle \underset{x \to a}{\textrm{lim}}f(x)=f(a).
Пример 1. Найти предел функции:
1) \displaystyle f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+4 при \displaystyle x \to -3;
2) \displaystyle \varphi (t)=t\sqrt{t^{2}-20}-lg(t+\sqrt{t^{2}-20}) при \displaystyle t \to 6.
Решение. Данная функция является элементарной, она определена в предельной точке, поэтому находим предел функции как ее частное значение в предельной точке:
1) \displaystyle \underset{x \to -3}{\textrm{lim}}f(x)=f(-3)=
=(-3)^{3}-5\cdot (-3)^{2}+2\cdot (-3)+4=-74;
2) \displaystyle \underset{t \to 6}{\textrm{lim}}\: \varphi (t)=\varphi (6)=
=6\sqrt{6^{2}-20}-lg(6+\sqrt{6^{2}-20})=23.
б) Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.
Путем таких рассуждений, основанных на свойствах пределов, получены следующие часто встречающиеся пределы:
(постоянная a>0)
1. \displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\: ax=\infty .
2. \displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\: \frac{x}{a}=\infty .
3. \displaystyle \underset{x \to -0 }{\textrm{lim}}\: \frac{a}{x}=-\infty .
4. \displaystyle \displaystyle \underset{x \to +0 }{\textrm{lim}}\: \frac{a}{x}=+\infty .
5. \displaystyle \displaystyle \underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\: \frac{a}{x}=\infty .
6. \displaystyle \displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\: \frac{a}{x}=0 .
7. \displaystyle \displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\: a^{x}= \left\{\begin{matrix} 0,\; if\: |a|<1,\\ +\infty ,\: if\: a>1\\ \infty ,\: if\: a<-1. \end{matrix}\right.
При a<0 переменная x может принимать только целочисленные значения; для всех значений x при a<0 функция \displaystyle a^{x} не определена.
8. \displaystyle \displaystyle \underset{x \to -\infty }{\textrm{lim}}\: a^{x}= \left\{\begin{matrix} 0,\; if\: |a|>1,\\ +\infty ,\: if\: 0<a<1\\ \infty ,\: if\: -1<a<0. \end{matrix}\right.
9. \displaystyle \displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\: \textrm{log}_{a}x= \left\{\begin{matrix} +\infty ,\: if\: a>1\\ -\infty ,\: if\: 0<a<1. \end{matrix}\right.
10. \displaystyle \displaystyle \underset{x \to +0 }{\textrm{lim}}\: \textrm{log}_{a}x= \left\{\begin{matrix} -\infty ,\: if\: a>1\\ +\infty ,\: if\: 0<a<1. \end{matrix}\right.
11. Первый замечательный предел:
\displaystyle \displaystyle \underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\frac{\sin x}{x}=1 (x есть радианная мера угла).
12. \displaystyle \displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}=\underset{\alpha \to 0}{\textrm{lim}}(1+\alpha )^{\frac{1}{\alpha }}=e\approx 2,71828.
Этими простейшими пределами можно пользоваться как формулами.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

!--noindex-->