Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 15

matan_15

Рассмотрим случай, когда при \displaystyle x \to a или \displaystyle x \to \infty функция f(x) представляет отношение двух бесконечно малых величин (случай \displaystyle \frac{0}{0}).
Этот случай нахождения предела функции имеет особенно важное значение. Как будет выяснено впоследствии, нахождение предела отношения бесконечно малого изменения функции к бесконечно малому изменению аргумента является одним из основных средств для изучения функций.
Пример 1. Найти следующие пределы:
1) \displaystyle \underset{x \to 2}{\textrm{lim}}\frac{x-2}{x^{2}-4};
2) \displaystyle \underset{x \to 5}{\textrm{lim}}\frac{2x^{2}-11x+5}{3x^{2}-14x-5};
З) \displaystyle \underset{x \to -2}{\textrm{lim}}\frac{x^{5}+2x^{4}+x^{2}-3x-10}{x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+5x-2};
4) \displaystyle \underset{x \to \pi }{\textrm{lim}}\frac{\sin ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}.


Решение. Вначале убеждаемся, что предел функции нельзя найти непосредственной подстановкой, что при указанном изменении аргумента она представляет отношение двух бесконечно малых величин (случай \displaystyle \frac{0}{0}); затем делаем преобразования, чтобы сократить дробь на множитель, стремящийся к нулю.
1) Раскладываем знаменатель на множители и сокращаем дробь на x-2:
\displaystyle \underset{x \to 2}{\textrm{lim}}\frac{x-2}{x^{2}-4}=\underset{x \to 2}{\textrm{lim}}\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\underset{x \to 2}{\textrm{lim}}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}.
Здесь нет сокращения на нуль, что никогда недопустимо. Согласно определению предела функции аргумент x стремится к своему предельному значению 2, никогда с ним не совпадая. Поэтому здесь \displaystyle x-2\neq 0.
Вообще, если надо найти предел функции при \displaystyle x \to a, то необходимо помнить, что x не принимает значения a, m. е. что \displaystyle x \neq a и \displaystyle x-a \neq 0.
2) Раскладываем числитель и знаменатель дроби на множители, как квадратные трехчлены, по формуле
\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}), где \displaystyle x_{1} и \displaystyle x_{2} - корни трехчлена. Затем сокращаем дробь на x-5:

\displaystyle \underset{x \to 5}{\textrm{lim}}\frac{2x^{2}-11x+5}{3x^{2}-14x-5}=\underset{x \to 5}{\textrm{lim}}\frac{2(x-5)\left ( x-\frac{1}{2} \right )}{3(x-5)\left ( x+\frac{1}{3} \right )}=\underset{x \to 5}{\textrm{lim}}\frac{2x-1}{3x+1}=\frac{9}{16}.


3) Сократим дробь, разделив на x+2 числитель и знаменатель в отдельности:

\displaystyle \underset{x \to -2}{\textrm{lim}}\frac{x^{5}+2x^{4}+x^{2}-3x-10}{x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+5x-2}=\underset{x \to -2}{\textrm{lim}}\frac{x^{4}+x-5}{x^{3}+3x-1}=-\frac{3}{5}.


Вообще, если надо найти предел дроби, числитель и знаменатель которой многочлены, обращающиеся в нуль в предельной точке \displaystyle x=a, то согласно теореме Безу оба многочлена разделятся без остатка на x-a, т. е. такую дробь всегда можно сократить на x-a.
4) Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь на \displaystyle 1+\cos x:

\displaystyle \underset{x \to \pi }{\textrm{lim}}\frac{\sin ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}=\underset{x \to \pi }{\textrm{lim}}\frac{1-\cos ^{2}x}{(1+\cos x)(1-\cos x+\cos ^{2}x)}=\underset{x \to \pi }{\textrm{lim}}\frac{1-\cos x}{1-\cos x+\cos ^{2}x}=\frac{2}{3}.

Пример 2. Найти следующие пределы:
1) \displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{1-\sqrt{x+1}}{x};
2) \displaystyle \underset{x \to 4}{\textrm{lim}}\frac{2-\sqrt{x}}{3-\sqrt{2x+1}};
3) \displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\textrm{tg}\: x}{1-\sqrt{1+\textrm{tg}\: x}};
4) \displaystyle \underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}}.

Решение. Выяснив вначале, что при указанном изменении аргумента данная функция представляет отношение двух бесконечно малых величии (случай \displaystyle \frac{0}{0}), преобразуем затем дробь так, чтобы сократить ее на множитель, стремящийся к нулю:
1) уничтожаем иррациональность в числителе путем умножения числителя и знаменателя на \displaystyle 1+\sqrt{x+1}, затем сокращаем дробь на x:
\displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{1-\sqrt{x+1}}{x}=\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{(1-\sqrt{x+1})(1+\sqrt{x+1})}{x(1+\sqrt{x+1})}=\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{-x}{x(1+\sqrt{x+1})}=\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{-1}{1+\sqrt{x+1}}=-\frac{1}{2};
2) умножаем числитель и знаменатель на произведение \displaystyle (2+\sqrt{x})(3+\sqrt{2x+1}) и затем сокращаем дробь на 4-x:

\displaystyle \underset{x \to 4}{\textrm{lim}}\frac{2-\sqrt{x}}{3-\sqrt{2x+1}}=\underset{x \to 4}{\textrm{lim}}\frac{(4-x)(3+\sqrt{2x+1})}{(9-2x-1)(2+\sqrt{x})}=\underset{x \to 4}{\textrm{lim}}\frac{3+\sqrt{2x+1}}{2(2+\sqrt{x})}=\frac{3}{4};


3) умножаем числитель и знаменатель на \displaystyle 1+\sqrt{1+\textrm{tg}\: x} и сокращаем дробь на \displaystyle \textrm{tg}\: x:

\displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\textrm{tg}\: x}{1-\sqrt{1+\textrm{tg}\: x}}=\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\textrm{tg}\: x(1+\sqrt{1+\textrm{tg}\: x})}{1-1-\textrm{tg}\: x}=-\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}(1+\sqrt{1+\textrm{tg}\: x})=-2;


4) умножаем числитель и знаменатель на произведение \displaystyle (1+\sqrt{x})(1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^{2}}) затем сокращаем дробь на 1-x:

\displaystyle \underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}}=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{(1-x)(1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^{2}})}{(1-x)(1+\sqrt{x})}=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^{2}}}{1+\sqrt{x}}=\frac{3}{2}.


Иначе можно решить эту задачу путем замены переменной. Полагая \displaystyle x=t^{2}, получим \displaystyle t \to 1, когда \displaystyle x \to 1 и

\displaystyle \underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}}=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{1-t^{3}}{1-t^{2}}=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{(1-t)(1+t+t^{2})}{(1-t)(1+t)}=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{1+t+t^{2}}{1+t}=\frac{3}{2}.

Пример 3. Найти следующие пределы:
1) \displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\sin 3x}{x};
2) \displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{x^{2}}{1-\cos x};
3) \displaystyle \underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{\cos \frac{\pi x}{2}}{1- x};
4) \displaystyle \underset{x \to -2}{\textrm{lim}}\frac{x^{2}-4}{\textrm{arctg}\: (x+2)}.
Решение. Устанавливаем, что данная функция не определена в предельной точке, что при заданном изменении аргумента она представляет отношение двух бесконечно малых величин (случай \displaystyle \frac{0}{0}). После этого подвергаем функцию преобразованиям с тем, чтобы использовать 1-й замечательный предел: \displaystyle \underset{\alpha \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\sin \alpha }{\alpha }=1 (\displaystyle \alpha —радианная мера угла).
1) \displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\sin 3x}{x}=\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{3\sin 3x}{3x}=3\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\sin 3x}{3x}=3\cdot 1=3.)
2) Применяем тригонометрическую формулу \displaystyle 1-\cos x=2\sin ^{2}\frac{x}{2};

\displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{x^{2}}{1-\cos x}=\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{x^{2}}{2\sin ^{2}\frac{x}{2}}=2\left (\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \right )^{2}=2\cdot 1=2.


3) Здесь, чтобы использовать 1-й замечательный предел, сделаем замену переменной: \displaystyle 1-x=t. Тогда при \displaystyle x \to 1 будет \displaystyle t \to 0 и

\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{\cos \frac{\pi x}{2}}{1- x}=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{\cos \left ( \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}t \right )}{t}=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{\sin \frac{\pi }{2}t}{t}=\frac{\pi }{2}\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{\sin \frac{\pi }{2}t}{\frac{\pi }{2}t}=\frac{\pi }{2}\cdot 1=\frac{\pi }{2}.


4) Полагая \displaystyle \textrm{arctg}\: (x+2)=v, получим \displaystyle x+2=\textrm{tg}\: v, \displaystyle v \to 0 когда \displaystyle x \to -2, и

\displaystyle \underset{x \to -2}{\textrm{lim}}\frac{x^{2}-4}{\textrm{arctg}\: (x+2)}=\underset{v \to 0}{\textrm{lim}}\frac{(\textrm{tg}\: v-2)^{2}-4}{v}=\underset{v \to 0}{\textrm{lim}}\frac{(\textrm{tg}\: v-4)\textrm{tg}\: v}{v}=\underset{v \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\textrm{tg}\: v-4}{\cos v}\cdot \underset{v \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\sin v}{v}=-4\cdot 1=-4.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: