Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 16

matan_16

Рассмотрим случай, когда, при \displaystyle x \to a или \displaystyle x \to \infty функция f(x) представляет отношение двух бесконечно больших величин (случай \displaystyle \frac{\infty }{\infty }).
Пример 1. Найти пределы:
1) \displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{3x^{2}-1}{5x^{2}+2x};
2) \displaystyle \underset{x \to- \infty }{\textrm{lim}}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}};
3) \displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{1+7^{n+2}}{3-7^{n}};


4) \displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{2+4+6+...+2n}{1+3+5+...+(2n+1)};
5) \displaystyle \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}\frac{\textrm{tg}2x}{\textrm{ctg}\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )};
6) \displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{n^{3}}{1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}}.
Решение. Убедившись, что имеет место случай \displaystyle \frac{\infty }{\infty }, подвергаем функцию преобразованиям.
1) Разделим числитель и знаменатель дроби на \displaystyle x^{2} (наивысшая здесь степень x), получим:
\displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{3x^{2}-1}{5x^{2}+2x}=\underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{3-\frac{1}{x^{2}}}{5+\frac{2}{x}}=\frac{3-0}{5+0}=\frac{3}{5},
так как при \displaystyle x \to \infty величины \displaystyle \frac{1}{x^{2}} и \displaystyle \frac{1}{x} являются бесконечно малыми. Эту задачу можно решить иначе, посредством замены переменной. Полагая \displaystyle x=\frac{1}{\alpha } получим: \displaystyle \alpha \to 0, когда \displaystyle x \to \infty и \displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{3x^{2}-1}{5x^{2}+2x}=\underset{\alpha \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\frac{3}{\alpha ^{2}}-1}{\frac{5}{\alpha ^{2}}+\frac{2}{\alpha}}=\underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{3-\alpha ^{2}}{5+2\alpha}=\frac{3}{5}.
Вообще, предельный переход при \displaystyle x \to \infty всегда может быть заменен предельным переходом при \displaystyle \alpha \to 0, если за новую независимую переменную принять величину, обратную первоначальной переменной, т. е. если положить \displaystyle \alpha =\frac{1}{x}.
2) Эту задачу можно решить теми же двумя способами, что и предыдущую.
Разделим числитель и знаменатель на n, получим
\displaystyle \underset{x \to- \infty }{\textrm{lim}}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}=\underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}=\frac{1}{-1}=-1,
или, полагая \displaystyle n =\frac{1}{\alpha } найдем \displaystyle \alpha \to -0 при \displaystyle n \to -\infty, и
\displaystyle \underset{x \to- \infty }{\textrm{lim}}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}=\underset{\alpha \to -0 }{\textrm{lim}}\frac{\frac{1}{\alpha }}{\sqrt{\frac{1}{\alpha ^{2}}+1}}=\underset{\alpha \to 0}{\textrm{lim}}\frac{1}{-\sqrt{\alpha ^{2}+1}}=-1.
Здесь появляется минус вследствие внесения под знак квадратного радикала (в первом решении) или вынесения за этот знак (во втором решении) отрицательного делителя, ибо если a<0, то \displaystyle a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b} и \displaystyle \sqrt{a^{2}b}=-a\sqrt{b}. Из этого решения следует, что при \displaystyle n \to +\infty предел данной функции будет равен единице, а при \displaystyle n \to \infty предел этой функции не существует.
3) Умножая числитель и знаменатель дроби на \displaystyle 7^{-n}, получим
\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{1+7^{n+2}}{3-7^{n}}=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{7^{-n}+7^{2}}{3\cdot 7^{-n}-1}=\frac{0+49}{0-1}=-49.
так как \displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}7^{-n}=7^{-\infty }=0.
4) Здесь числитель дроби есть сумма n членов арифметической прогрессии, а знаменатель есть сумма n+1 членов другой арифметической прогрессии. Преобразуя их по известной формуле,
получим
\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{2+4+6+...+2n}{1+3+5+...+(2n+1)}=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{\frac{2+2n}{2}n}{\frac{1+2n+1}{2}(n+1)}=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{n}{n+1}=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1.
5) Тождественно преобразуем дробь так, чтобы затем сократить ее на множитель, стремящийся к нулю:
\displaystyle \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}\frac{\textrm{tg}2x}{\textrm{ctg}\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )}=\underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}\frac{\sin 2x\: \sin \left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{\cos 2x\: \cos \left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}=\underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}\frac{\sin 2x}{ \cos \left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}\cdot \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}\frac{\sin \left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{\cos 2x}=
=\frac{1}{1}\cdot \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}\frac{\sin \left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{\sin \left ( \frac{\pi }{2}-2x \right )}=\underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}\frac{-\sin \left (\frac{\pi }{4}-x \right )}{2\sin \left ( \frac{\pi }{4}-x \right )\cos \left ( \frac{\pi }{4}-x \right )}=-\frac{1}{2}.
6) Преобразуем знаменатель с помощью формулы для суммы квадратов натурального ряда чисел:
\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
получим
\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{n^{3}}{1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}}=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{6n^{3}}{n(n+1)(2n+1)}=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{6}{\left ( 1+\frac{1}{n} \right )\left ( 2+\frac{1}{n} \right )}=3.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: