Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 18

matan_18

Случай, когда при \displaystyle x \to a или \displaystyle x \to \infty функция f(x) представляет разность двух положительных бесконечно больших величин (случай \displaystyle \infty -\infty)
Этот случай нахождения предела функции можно привести к случаю \displaystyle \frac{0}{0} или \displaystyle \frac{\infty }{\infty } путем преобразования функции к виду дроби.
Пример 1. Найти пределы:
1) \displaystyle \underset{x \to 2 }{\textrm{lim}}\left ( \frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^{2}-4} \right );
2) \displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\left ( x-\sqrt{x^{2}+5x} \right );
3) \displaystyle \underset{\alpha \to \frac{\pi }{2}-0 }{\textrm{lim}}\left (\sqrt{tg^{2}\: \alpha +sec\: \alpha } -tg\: \alpha \right );
4) \displaystyle \underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\left (2 \textrm{cosec}\: 2x-\textrm{ctg}\: x\right ).


Решение. Анализируя условие задачи, заключаем, что при указанном поведении аргумента функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин (случай \displaystyle \infty -\infty).
После этого преобразуем данную функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконечности. Тем самым данный случай нахождения предела функции \displaystyle \infty -\infty сводится к случаю \displaystyle \frac{0}{0} или \displaystyle \frac{\infty }{\infty }.
1) Производим вычитание дробей и полученную в результате дробь сокращаем на х—2:
\displaystyle \underset{x \to 2 }{\textrm{lim}}\left ( \frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^{2}-4} \right )=\underset{x \to 2 }{\textrm{lim}}\frac{x-2}{x^{2}-4}=\underset{x \to 2 }{\textrm{lim}}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}.
2) Рассматривая данную функцию как дробную, со знаменателем, равным единице, избавимся от иррациональности в числителе и затем разделим числитель и знаменатель дроби на x:
\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\left ( x-\sqrt{x^{2}+5x} \right )=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{(x-\sqrt{x^{2}+5x})(x+\sqrt{x^{2}+5x})}{x+\sqrt{x^{2}+5x}}=
=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{-5x}{x+\sqrt{x^{2}+5x}}=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{-5}{1+\sqrt{1+\frac{5}{x}}}=\frac{-5}{1+1}=-\frac{5}{2}.
3) Как и в предыдущей задаче, переводим иррациональность в знаменатель, затем умножаем числитель и знаменатель дроби на \displaystyle \cos \alpha:
\displaystyle \underset{\alpha \to \frac{\pi }{2}-0 }{\textrm{lim}}\left (\sqrt{tg^{2}\: \alpha +sec\: \alpha } -tg\: \alpha \right )=\underset{\alpha \to \frac{\pi }{2}-0 }{\textrm{lim}}\frac{\textrm{sec}\: \alpha }{\sqrt{tg^{2}\: \alpha +sec\: \alpha } +tg\: \alpha }=
=\underset{\alpha \to \frac{\pi }{2}-0 }{\textrm{lim}}\frac{1}{\sqrt{\sin ^{2}\: \alpha +\cos \: \alpha } +\sin \alpha}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
4) Тождественно преобразуем данную функцию к виду дроби, затем сокращаем дробь на \displaystyle \sin x:
\displaystyle \underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\left (2 \textrm{cosec}\: 2x-\textrm{ctg}\: x\right )=\underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\left ( \frac{2}{\sin 2x}-\frac{\cos x}{\sin x} \right )=\underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\frac{2-2\cos ^{2}x}{2\sin x\cos x}=\underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\frac{\sin ^{2}x}{\sin x\cos x}=\underset{x \to 0 }{\textrm{lim}} \textrm{tg}\: x=0.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: