Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 19

matan_19

Рассмотрим случай, когда при \displaystyle x \to a или \displaystyle x \to \infty функция f(x) представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель — к бесконечности (случай \displaystyle 1^{\infty }).
В этом случае для нахождения предела функции используется 2-й замечательный предел:
\displaystyle \underset{n \to \infty }{\textrm{lim}}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}=\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}(1+\alpha )^{\frac{1}{\alpha }}=e.


Число e —иррациональное; е=2,7182818... Логарифмы с основанием e называются натуральными и обозначаются \displaystyle ln. Натуральные и десятичные логарифмы чисел связаны формулами:
\displaystyle \textrm{lg}\: x=M\: \textrm{ln}\: x,\; \textrm{ln}\: x=\frac{1}{M}\textrm{lg}\: x,
где \displaystyle M=\textrm{lg}\: e=0,43429...,\; \frac{1}{M}=\textrm{ln}\: 10=2,30258...
Пример 1. Найти пределы:
1) \displaystyle \underset{n \to \infty }{\textrm{lim}}\left ( 1+\frac{a}{n} \right )^{n};
2) \displaystyle \underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\sqrt[x]{1-2x};
3) \displaystyle \underset{t \to \infty }{\textrm{lim}}\left ( \frac{t-3}{t+2} \right )^{2t+1};
4) \displaystyle \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}(\textrm{tg}\: x)^{tg\: 2x}.
Решение. Убедившись сначала, что при указанном изменении аргумента функция представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель — к бесконечности (случай \displaystyle 1^{\infty }), далее преобразуем функцию так, чтобы использовать 2-й замечательный предел.
1) Полагая \displaystyle n=ax, получим \displaystyle x \to \infty, когда \displaystyle n \to \infty, и
\displaystyle \underset{n \to \infty }{\textrm{lim}}\left ( 1+\frac{a}{n} \right )^{n}=\underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{ax}=\underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\left [ \left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x} \right ]^{a}=\left [\underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x} \right ]^{a}=e^{a}.
Возможно и другое решение без замены переменной:
\displaystyle \underset{n \to \infty }{\textrm{lim}}\left ( 1+\frac{a}{n} \right )^{n}=\underset{n \to \infty }{\textrm{lim}}\left [ \left ( 1+\frac{a}{n} \right )^{\frac{n}{a}} \right ]^{a}=\left [\underset{\frac{n}{a} \to \infty }{\textrm{lim}}\left ( 1+\frac{a}{n} \right )^{\frac{n}{a}} \right ]^{a}=e^{a}.
2) Полагая \displaystyle -2x=\alpha, найдем \displaystyle \alpha \to 0, когда \displaystyle x \to 0 и
\displaystyle \underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\sqrt[x]{1-2x}=\underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}(1-2x)^{\frac{1}{x}}=\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}(1+\alpha )^{-\frac{2}{\alpha }}=\left [\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}(1+\alpha )^{\frac{1}{\alpha }} \right ]^{-2}=e^{-2}.
3) Исключив целую часть из дроби, полагаем \displaystyle -\frac{5}{t+2}=x:
\displaystyle \underset{t \to \infty }{\textrm{lim}}\left ( \frac{t-3}{t+2} \right )^{2t+1}=\underset{t \to \infty }{\textrm{lim}}\left ( 1-\frac{5}{t+2} \right )^{2t+1}=\underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}(1+x)^{-\frac{10}{x}-3}=\underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\left [ (1+x)^{\frac{1}{x}} \right ]^{-10}\cdot \underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}(1+x)^{-3}=e^{-10}\cdot 1=e^{-10}.
4) Полагая \displaystyle \textrm{tg}\: x=1+\alpha, получим \displaystyle \alpha \to 0, когда \displaystyle x \to \frac{\pi }{4}, и
\displaystyle \textrm{tg}\: 2x=\frac{2\textrm{tg}\: x}{1-\textrm{tg}^{2}x}=-\frac{2(\alpha +1)}{\alpha (\alpha +2)},
\displaystyle \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}(\textrm{tg}\: x)^{tg\: 2x}=\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}\left [ (1+\alpha )^{\frac{1}{\alpha }} \right ]^{-\frac{2(\alpha +1)}{\alpha +2}}=e^{-1},
так как \displaystyle \underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}\frac{2(\alpha +1)}{\alpha +2}=1.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: