Решение типовых задач по теме: "Кривые второго порядка". Уравнение эллипса. Часть 2

Задача №1. Сторона ромба равна 5 и высота 4,8. Через две противолежащие его вершины проходит эллипс, фокусы которого совпадают с двумя другими вершинами ромба. Составить уравнение эллипса, приняв диагонали ромба за оси координат.
Решение. Каноническое уравнение эллипса
kiip128
kiip126

Рис.1

Согласно условию BF = B'F' = 5, из треугольника BOF (рис.1) BF² = OF² + OB²,
но OF = c, ОВ = b,
следовательно, BF = a.
Таким образом, b² + с² = 25. Найдем площадь ромба: S = 5·4,8 = 24 (кв.ед.). Площадь треугольника BOF составляет четвертую часть площади ромба, т. е. SBOF = 6 кв.ед.
Но с другой стороны

Решение типовых задач по теме: "Кривые второго порядка". Уравнение окружности. Часть 1

Задача №1. Определить центр и радиус окружности, заданной уравнением х²+у²-2х+4y-20=0.
Решение. Так как в заданном уравнении коэффициенты при х² и у² равны между собой и отсутствует член с произведением координат, го заданное уравнение действительно представляет собой уравнение окружности. Чтобы определить координаты центра и радиус окружности, необходимо уравнение привести к каноническому виду:
(х²-2х)+(y²+4у)=20, (x²-2х+1)+(у²+4х+4)=25, (x-1)²+(y+2)²=25.
Координаты центра и радиус окружности можно найти, не приводя данное уравнение к каноническому виду,
kiip076

Рис.1

достаточно сравнить данное уравнение с уравнением окружности в общем виде:

Кривые второго порядка: гипербола и парабола (основные формулы)

1. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а (рис.1). Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
kiip026
Координаты фокусов гиперболы: F(c;0) и F₁(-c;0). Расстояние между фокусами равно 2с.
Точки пересечения гиперболы с осью абсцисс А(а;0) и A₁(—а;0) называются действительными вершинами.
kiip030

Рис.2

Отрезок АА₁ = 2а называется действительной осью гиперболы. Точки В (0;b) и В₁(0;—b) называются мнимыми вершинами гиперболы, а отрезок ВВ₁ = 2b называется мнимой осью гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы
kiip028
Расстояния r и r₁ точки М(x;у) гиперболы до ее фокусов называются фокальными радиусами этой точки и определяются формулами:

Кривые второго порядка: окружность и эллипс (основные формулы)

1. Окружность.

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной и той же точки этой плоскости (рис.1).
kiip012

Рис.1

Уравнение окружности с центром в точке (а;b) и радиусом r имеет вид:
kiip002
В частном случае, когда центр окружности лежит в начале координат, ее уравнением является
kiip010
Общее уравнение кривой второго порядка
kiip008
представляет окружность, если коэффициенты при квадратах координат равны между собой, А=С, и если отсутствует член с произведением координат ху, т.е. В=0.

2. Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

загрузка...

Геометрические места точек. Решение задач

Задача № 1. Даны: точка D(4; 3) и окружность радиуса г= 1 с центром в точке С(2; 4).
Требуется найти такую точку М, чтобы длина касательной, проведенной из нее к окружности, была равна расстоянию точки М до точки D (рис.1).
Решение. Пусть искомая точка есть М (х, у) (рис.1).
gmt106

Рис.1

Согласно условия MB=MD, где точка В есть точка касания прямой к окружности. Тогда треугольник МВС - прямоугольный, из которого находим, что MBgmt108

Геометрические места точек

Геометрические места точек

Линия может быть определена как некоторое геометрическое место точек, т. е. может быть дано геометрическое свойство, присущее только точкам этой линии. В таком случае возникает вопрос о нахождении уравнения линии.
Задача нахождения уравнения линии сводится к тому, чтобы выразить аналитически тот факт, что все точки линии обладают определенным свойством. Но нет необходимости рассматривать все точки линии. Мы можем представить себе, что эта линия описана подвижной точкой М (х,у).
Поэтому для составления уравнения берут произвольную точку, принадлежащую данному геометрическому месту, и связывают ее координаты х и у с данными величинами.

Уравнение прямой на плоскости. Примеры решения типовых задач. Часть 4

Задача № 1. Составить уравнения прямых, параллельных прямой x-3y=0 и отсекающих от двух пересекающихся прямых Зх-2у-1=0, 4х-5y+1=0 треугольник, площадь которого равна 7/2.
Решение. Уравнения искомых прямых будут х-3у+с=0.
up130

Рис.1

Коэффициент с определим, использовав площадь треугольника.
Найдем координаты вершин треугольника, имеющего площадь 7/2, для чего решим следующие системы уравнений:
up132
Решаем первую, вторую и третью системы уравнений.
Получим координаты точек: А (1; 1),
up134
Подставив в эту формулу соответствующие значения
up136
Подставив в эту формулу соответствующие значения х₁, х₂, х₃ и у₁, у₂, у₃ получим выражение площади
up138
По условию площадь этого треугольника равна 7/2, т. е.
up140
или
up142
Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, то рассмотрим только уравнение
(с —2)² = 49. Решим его: с-2=±7, с₁=2+7=9, c₂=2-7=-5.
Таким образом, уравнениями искомых прямых будут уравнения: х-3y+9=0 и х-Зу-5=0. (рис.1).
Ответ: х-3y+9=0, х-Зу-5=0.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео

Задача № 2. Найти полярное уравнение прямой, если:
1) Угол наклона прямой к полярной оси равен 1/6π, а длина перпендикуляра, опущенного из полюса на эту прямую, равна 3.
2) Отрезок, отсекаемый прямой на полярной оси, равен 2, а полярный угол нормали этой прямой равен -2/3π.
3) Угол наклона прямой к полярной оси равен 1/6π и отрезок, который отсекает прямая на полярной оси, равен 6.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео

загрузка...
×