Архив категории: Практикум по математическому анализу

Интегрирование методом разложения подынтегральной функции на слагаемые. Практикум по математическому анализу. Урок 70

Интегрирование методом разложения подынтегральной функции на слагаемые. Практикум по математическому анализу. Урок 70

Если подынтегральная функция представляет алгебраическую сумму нескольких слагаемых, то, согласно свойству IV, можно интегрировать каждое слагаемое отдельно.
Пользуясь этим, можно многие интегралы привести к сумме более простых интегралов.
Пример 1. Найти интегралы:
1) \displaystyle \int (3x^{2}-2x+5)dx;

Основные формулы интегрирования. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 69

Основные формулы интегрирования. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 69

Пример 1. Найти следующие интегралы:
1) \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt[3]{5x}};
2) \displaystyle \int \frac{dt}{\sqrt{3-4t^{2}}};
3) \displaystyle \int \cos 3\varphi d\varphi ;
4) \displaystyle \int e^{-\frac{x}{2}}dx;
5) \displaystyle \int \sin (ax+b)dx;

Основные формулы интегрирования. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 68

Основные формулы интегрирования. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 68

Пример. Найти следующие интегралы и проверить результаты дифференцированием:
1) \displaystyle \int \frac{dx}{x^{3}};
2) \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{2-x^{2}}};
3) \displaystyle \int 3^{t}5^{t}dt;
4) \displaystyle \int \sqrt{y+1}dy;
5) \displaystyle \int \frac{dx}{2x^{2}-6}.

Первообразная и неопределенный интеграл. Основные формулы интегрирования. Урок 67

Первообразная и неопределенный интеграл. Основные формулы интегрирования. Урок 67

Отыскание функции F(x) по известному ее дифференциалу dF(x)=f(x)dx [или по известной её производной F'(x)=f(x)], т. е. действие обратное дифференцированию, называется интегрированием, а искомая функция F(x) называется первообразной функцией от функции f(x).
Всякая непрерывная функция f(x) имеет бесчисленное множество различных первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым: если F(x) есть первообразная от f(x), т. е. если F'(x)=f(x), то и F(x)+C, где C — произвольная постоянная, есть также первообразная от f(x), поскольку (F(x)+C)'=F'(x)=f(x).

Кривизна плоской кривой (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 66

Кривизна плоской кривой (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 66

Пример 3. Найти координаты центра кривизны и построить кривую и круг кривизны кривой:
1) y=4x-x^{2} в ее вершине;
2) x=t-\sin t,\: y=1-\cos t в точке, где \displaystyle t=\frac{\pi }{2}.
Решение. 1) Данное уравнение определяет параболу, ось которой параллельна оси Oy. Найдем ее вершину как точку, где касательная параллельна оси Ox, т. е. где y'=0:

Кривизна плоской кривой. Практикум по математическому анализу. Урок 65

Кривизна плоской кривой. Практикум по математическому анализу. Урок 65

Если плоская линия отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением y=f(x) или уравнениями x=\varphi (t),y=\psi (t), то ее кривизна K в любой точке определяется формулой

\displaystyle K=\frac{\left | y'' \right |}{\left [ 1+(y')^{2}\right ]^{\frac{3}{2}}}=\frac{\left | \dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x} \right |}{(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})^{\frac{3}{2}}}, \; \; \; \; (1)


где \dot{x},\ddot{x},\dot{y},\ddot{y} — первая и вторая производные от x и y по параметру t.

Приближенное решение уравнений (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 64

Приближенное решение уравнений (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 64

Пример 2. Вычислить с точностью до 0,0001 наибольший корень уравнения x^{5}-x-0,2=0.
Решение. Вначале отделим искомый корень графическим методом. Преобразуя уравнение к виду x^{5}=x+0,2 и построив кривые y=x^{5} и y=x+0,2 в одних координатных осях (рис. 79), при указанных неодинаковых по осям, но одинаковых для обеих кривых единицах масштаба, заключаем, что искомый наибольший корень содержится на отрезке [1; 1,1].

загрузка...
×