Архив категории: Практикум по математическому анализу

Задачи на наибольшее (наименьшее) значения функции (окончание). Практикум по математическому анализу. Урок 56

Задача №1. Из куска жести, форма и размеры которого (в дм) показаны на рис. 57, вырезать прямоугольник с наибольшей площадью.
Решение. Обозначим стороны вырезаемого прямоугольника через x и y. Тогда его площадь S=xy. Выразим y через x, исходя из подобия треугольников BDC и AEC:

BD=11-x;\: DC=y-6;\: AE=8;\: EC=4.

Задачи на наибольшее (наименьшее) значения функции. Практикум по математическому анализу. Урок 55

Во многих геометрических, физических и технических задачах требуется найти наибольшее или наименьшее значение величины, связанной функциональной зависимостью с другой величиной.
Широкая распространенность и большое значение этих задач послужили одним из главных поводов к развитию математического анализа.
Для решения такой задачи следует, исходя из ее условия, выбрать независимую переменную и выразить исследуемую величину через эту переменную, а затем найти искомое наибольшее или наименьшее значение полученной функции. При этом интервал изменения независимой переменной, который может быть конечным или бесконечным, также определяется из условия задачи.

Наибольшее и наименьшее значения функции. Практикум по математическому анализу. Урок 54

Наибольшим значением функции называется самое большее, а наименьшим значением — самое меньшее из всех ее значений.
Функция может иметь только одно наибольшее значение и только одно наименьшее значение или может не иметь их совсем. Например, во всей своей области определения функция \sin x имеет наибольшее значение, равное единице, и наименьшее значение, равное минус единице; функции \textrm{tg}\, x и x^{3} не имеют ни наибольшего, ни наименьшего значений; функция -x^{2} имеет наибольшее значение, равное нулю, но не имеет наименьшего значения; функция 1+\sqrt{\left | x \right |} имеет наименьшее значение, равное единице, но не имеет наибольшего значения (рис. 52).

Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53

Примеры. Исследовать на максимум и минимум функции:
1) y=(1-x^{2})^{3}; 2) u=x\sqrt{1-x^{2}}; 3) v=2\sqrt[3]{x^{5}}-5\sqrt[3]{x^{2}}+1; 4) p=x^{3}-12x; 5) q=x^{2}+\sqrt{x^{5}}; 6) r=\sin ^{2}x.
Решение. 1) Согласно правилу исследования функции на экстремум:
I. Находим производную: y'=3(1-x^{2})^{2}(-2x)=-6x(1-x^{2})^{2} и критические точки. Полагая y'=0, получим x_{1}=0,\: x_{2}=1,\: x_{3}=-1. Функция y определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому точки x_{1},\: x_{2} и x_{1} являются критическими.

загрузка...

Максимум и минимум (экстремум) функции. Практикум по математическому анализу. Урок 52

Значение функции f(x) в точке x_{0} называется максимумом (минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках слева и справа от x_{0}.
Функция может иметь экстремум (максимум или минимум) только в тех точках, которые лежат внутри области определения функции и где ее производная равна нулю или не существует. (Это необходимые условия экстремума, но недостаточные; они могут выполняться и в точках, где нет экстремума, например в точках x_{2},x_{5},x_{7} рис. 44.) Такие точки называются критическими. В соответствующих точках графика функции касательная параллельна оси абсцисс (y'=0), или оси ординат (y'=\infty) или нет определенной касательной (например, как в угловой точке).

Возрастание и убывание функции. Практикум по математическому анализу. Урок 51

При изучении поведения функции в зависимости от изменения независимой переменной обычно предполагается, что во всей области определения функции независимая переменная изменяется монотонно возрастая, т. е. что каждое следующее ее значение больше предыдущего.
Если при этом последовательные значения функции также возрастают, то и функция называется возрастающей, а если они убывают, то и функция называется убывающей.
Некоторые функции во всей своей области определения изменяются монотонно — только возрастают или только убывают (например 2^{x},\: \textrm{arcctg}\, x).

Правило Лопиталя и его применение (окончание). Практикум по математическому анализу. Урок 50

Рассмотрим еще несколько случаев нахождения предела:
5) 1^{\infty } — когда функция представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель — к бесконечности;
6) \infty ^{0} — когда функция представляет степень, основание которой стремится к бесконечности, а показатель — к нулю;
7) 0 ^{0} — когда функция представляет степень, основание и показатель которой стремятся к нулю.
Эти случаи нахождения предела функции также сводятся к случаям \displaystyle \frac{0}{0} или \displaystyle \frac{\infty }{\infty } следующим путем: функция логарифмируется и сначала находится предел ее логарифма, а затем по найденному пределу логарифма находится и предел самой функции.

загрузка...
×