Дифференциалы функции многих переменных (задачи). Практикум по математическому анализу. Урок 103

Дифференциалы функции многих переменных (задачи). Практикум по математическому анализу. Урок 103

Пример 1. Найти полные дифференциалы функций:
1) $z=3x^{2}y^{5}$;
2) $u=2x^{yz}$;
3) $\displaystyle p=\arccos \frac{1}{uv}$.
Решение.
1) а. Находим частные производные данной функции:

$$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=6xy^{5};\; \frac{\partial z}{\partial y}=15x^{2}y^{4}.$$

б. Умножая частные производные на дифференциалы соответствующих аргументов, получим частные дифференциалы функции:

$$\displaystyle d_{x}z=6xy^{5};\; d_{y}z=15x^{2}y^{4}dy.$$

в. Искомый полный дифференциал функции найдем как сумму ее частных дифференциалов:

$$\displaystyle dz=d_{x}z+d_{y}z=6xy^{5}dx+15x^{2}y^{4}dy.$$

2) Следуя указанному плану, последовательно находим:
а) $\displaystyle u'_{x}=2yzx^{yz-1};\; u'_{y}=2zx^{yz}\ln x;\; u'_{z}=2yx^{yz}\ln x;$
б) $\displaystyle d_{x}u=2yzx^{yz-1}dx;\; d_{y}u=2zx^{yz}\ln x\, dy;\; d_{z}u=2yx^{yz}\ln x\, dz;$
в) $\displaystyle du=2x^{yz}\left ( \frac{yz}{x}dx+z\ln xdy+y\ln xdz \right ).$

3) a) $\displaystyle \frac{\partial p}{\partial u}=\frac{\left | uv \right |}{u^{2}v\sqrt{u^{2}v^{2}-1}};\; \frac{\partial p}{\partial v}=\frac{\left | uv \right |}{uv^{2}\sqrt{u^{2}v^{2}-1}};$
б) $\displaystyle d_{u}p=\frac{\left | v \right |du}{v\left | u \right |\sqrt{u^{2}v^{2}-1}};\; d_{v}p=\frac{\left | u \right |dv}{u\left | v \right |\sqrt{u^{2}v^{2}-1}};$
в) $\displaystyle dp=\frac{1}{\sqrt{u^{2}v^{2}-1}}\left ( \frac{\left | v \right |du}{v\left | u \right |}+\frac{\left | u \right |dv}{u\left | v \right |} \right ).$

Пример 2. Вычислить значение полного дифференциала функции $\displaystyle z=\textrm{arcctg}\,\frac{x}{y}$ при $\displaystyle x=1,\: y=3,\: dx=0,01,\: dy=-0,05.$
Решение. Находим частные производные, затем частные дифференциалы и полный дифференциал данной функции:

$$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}};\: \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}};\: dz=\frac{xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}.$$

Подставляя заданные значения независимых переменных $x,y,dx,dy$, функцией которых является полный дифференциал $dz$, получим

$$\displaystyle dz=\frac{1\cdot (-0,05)-3\cdot 0,01}{1+9}=-0,008.$$

Если требуется вычислить значение функции $f(x,y,...,t)$ в точке $\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},...,t_{1})$ и если проще вычислить значения этой функции и ее частных производных в точке $\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},...,t_{0})$, то при достаточно малых, по абсолютной величине, значениях разностей $\displaystyle x_{1}-x_{0}=dx,\: y_{1}-y_{0}=dy,...,t_{1}-t_{0}=dt$ можно заменить полное приращение функции ее полным дифференциалом:

$$\displaystyle f(M_{1})-f(M_{0})\approx f'_{x}(M_{0})dx+f'_{y}(M_{0})dy+...+f'_{t}(M_{0})dt.$$

и отсюда найти приближенное значение искомой величины по формуле

$$\displaystyle f(M_{1})\approx f(M_{0}) +f'_{x}(M_{0})dx+f'_{y}(M_{0})dy+...+f'_{t}(M_{0})dt.\; \; \; (a)$$

Пример 3. Вычислить приближенное значение $\displaystyle 1,08^{3,96}$.
Решение.
Полагая, что $\displaystyle 1,08^{3,96}$ есть частное значение функции $\displaystyle f(x,y)=x^{y}$ в точке $\displaystyle M_{1}(1,08;3,96)$ и что вспомогательная точка будет $\displaystyle M_{0}(1;4)$, получим

$$\displaystyle \displaystyle f(M_{0})=1^{4}=1;\: f'_{x}(M_{0})=yx^{y-1} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{x=1,y=4}=4;\; f'_{y}(M_{0})=x^{y}\ln x \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{x=1,y=4}=0;$$

$$\displaystyle dx=1,08-1=0,08;\; dy=3,96-4=-0,04.$$

Подставляя в формулу (а), найдем

$$\displaystyle 1,08^{3,96}\approx f(M_{0})+f'_{x}(M_{0})dx+f'_{y}(M_{0})dy=1+4\cdot 0,08=1,32.$$