Частные производные функции многих переменных. Практикум по математическому анализу. Урок 101

Частные производные функции многих переменных

Функцию $u=f(x,y,...,t)$ можно дифференцировать по каждому из ее аргументов, считая при этом все остальные аргументы постоянными.

Производная от функции $u=f(x,y,...,t)$ по $x$, взятая в предположении, что все остальные аргументы $y,z,...,t$ являются постоянными, называется частной производной от $u$ по $x$
и обозначается $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ или $u'_{x}$, т. е.

$$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=u'_{x}=\underset{\Delta x \to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y,z,...,t)-f(x,y,z,...,t)}{\Delta x}.$$

Аналогично определяются и обозначаются частные производные от функции $u$ по каждому из остальных ее аргументов.

Частные производные функции многих переменных находятся по известным правилам дифференцирования функции одной независимой переменной.

Пример 1. Найти частные производные от функций:

1) $\displaystyle z=x^{3}+5xy^{2}-y^{3}$;
2) $\displaystyle u=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}-\frac{z}{x}$;
3) $\displaystyle v=\sqrt[x]{e^{y}}$.

Решение.
1) Считая $z$ функцией только одного аргумента $x$, находим $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=3x^{2}+5y^{2}$.

Аналогично, считая $z$ функцией только $y$, получим $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=10xy-3y^{2}$.

2) Считая $u$ функцией только $x$, затем только $y$ и только $z$, получим:

$$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{y}+\frac{z}{x^{2}};\: \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{x}{y^{2}}+\frac{1}{z};\: \frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{y}{z^{2}}-\frac{1}{x}.$$

3) Заменяя корень степенью с дробным показателем и затем дифференцируя по каждой из двух переменных, получим:

$$\displaystyle v=e^{\frac{y}{x}};\: v'_{x}=-\frac{y}{x^{2}}e^{\frac{y}{x}};\: v'_{y}=\frac{1}{x}e^{\frac{y}{x}}.$$

Пример 2. Вычислить значения частных производных данных функций при указанных значениях аргументов:

1) $\displaystyle f(\alpha ,\beta )=\cos (m\alpha -n\beta );\: \alpha =\frac{\pi }{2m},\: \beta =0;$

2) $\displaystyle z=\ln (x^{2}-y^{2});\: x=2,\: y=-1.$
Решение.
1) По формулам дифференцирования находим частные производные:

$$\displaystyle f'_{\alpha }=-m\sin (m\alpha -n\beta );\: f'_{\beta }=n\sin (m\alpha -n\beta ).$$

Полагая $\displaystyle \alpha =\frac{\pi }{2m},\: \beta =0$, получим $$\displaystyle f'_{\alpha }\left ( \frac{\pi }{2m},0 \right )=-m;\: f'_{\beta }\left ( \frac{\pi }{2m},0 \right )=n.$

2) Находим производные, затем вычисляем их частные значения в указанной точке:

$$\displaystyle z'_{x}=\frac{2x}{x^{2}-y^{2}};\: z'_{y}=-\frac{2y}{x^{2}-y^{2}};\: z'_{x}(2;-1)=\frac{4}{3};\: z'_{y}=(2;-1)=\frac{2}{3}.$$

Пример 3. Проверить, что функция $\displaystyle z=x\ln \frac{y}{x}$ удовлетворяет уравнению $\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z$.

Решение. Тождественно преобразуем данную функцию и находим ее частные производные по $x$ и по $y$:

$$\displaystyle z=x(\ln y-\ln x);\: \frac{\partial z}{\partial x}=\ln y-\ln x-1=\ln \frac{y}{x}-1;\: \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{y}.$$

Подставляя $\displaystyle z,\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}$ в данное уравнение, получим тождество $\displaystyle x\left ( \ln \frac{y}{x}-1 \right )+y\frac{x}{y}=x\ln \frac{y}{x};\: 0=0.$ Это значит, что данная функция удовлетворяет данному уравнению (является его решением).