Дифференциалы функции многих переменных (теория). Практикум по математическому анализу. Урок 102

Дифференциалы функции многих переменных (теория)

Частным дифференциалом функции $u=f(x,y,...,t)$ по $x$ называется главная часть соответствующего частного приращения $\Delta _{x}u=f(x+\Delta x,y,...,t)-f(x,y,...,t)$, линейная относительно приращения $\Delta _{x}$ (или, что то же, дифференциала $dx$).

Аналогично определяются частные дифференциалы функции $u$ по каждому из остальных ее аргументов. Частные дифференциалы функции $u$ по $x$, по $y$, ..., по $t$ обозначаются, соответственно, $\displaystyle d_{x}u,d_{y}u,...,d_{t}u$.

Из определения частных производных следует, что

$$\displaystyle d_{x}u=\frac{\partial u}{\partial x}dx,d_{y}u=\frac{\partial u}{\partial y}dy,...,d_{t}u=\frac{\partial u}{\partial t}dt.$$

Полным дифференциалом функции $u=f(x,y,...,t)$ называется главная часть ее полного приращения

$$\displaystyle \Delta u=f(x+\Delta x,y+\Delta y,...,t+\Delta t)-f(x,y,...,t),$$

линейная относительно приращений $\Delta x,\Delta y,...,\Delta t$ (или, что то же, дифференциалов $dx,dy,...,dt$).

Полный дифференциал $du$ функции $u$ (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов

$$\displaystyle du=d_{x}u+d_{y}u+...+d_{t}u=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+...+\frac{\partial u}{\partial t}dt.$$

Функция $u(x,y,...,t)$ называется дифференцируемой в точке $(x,y,...,t)$, если в этой точке она имеет полный дифференциал.

При достаточно малых (по абсолютному значению) приращениях аргументов полное приращение функции можно с как угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом

$$\Delta u\approx du.$$

Вычисление полного дифференциала функции значительно проще, чем вычисление ее полного приращения. Поэтому указанное приближенное равенство используется для приближенных вычислений.