Задачи на комбинации тел. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 32

Задача 1. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту (см. рис. 1). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 16.

Решение.
Объём конуса равен $\displaystyle \frac{1}{3}Sh$, а объём цилиндра — $\displaystyle Sh$, где $S$ — площадь их общего основания, $h$ — общая высота. Видно, что объём цилиндра в 3 раза больше объёма конуса и равен $\displaystyle 16\cdot 3=48$.
Ответ: 48.
Задача 2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра (см. рис. 2), радиус основания которого равен 5. Объём параллелепипеда равен 600. Найдите высоту цилиндра.
Решение.
Каждая сторона прямоугольника в основании параллелепипеда равна диаметру цилиндра, то есть $\displaystyle 2\cdot 5=10$. Площадь основания параллелепипеда равна $\displaystyle 10\cdot 10=100$.

Высоту $h$ параллелепипеда находим из формулы объёма параллелепипеда: $\displaystyle 100h=600;\; h=6$. Найденная высота параллелепипеда одновременно является и высотой цилиндра.
Ответ: 6.
Задача 3. Объём куба равен 30 (см. рис. 3). Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение.
Рассмотрим куб как четырёхугольную призму. Его объём равен $\displaystyle V=S_{OCH}h$. Основание пирамиды совпадает с основанием призмы, а высота вдвое меньше высоты призмы. Поэтому
$\displaystyle V_{\Pi }=\frac{1}{3}S_{OCH}h_{\Pi }=\frac{1}{3}S_{OCH}\cdot \frac{1}{2}h_{K}=\frac{1}{6}\cdot V_{K}=\frac{1}{6}\cdot 30=5.$
Ответ: 5.
Задача 4. Объём правильной шестиугольной пирамиды $GABCDEF$ равен 60 (см. рис. 4). Найдите объём треугольной пирамиды $GABC$.

Решение.
Обозначим сторону шестиугольника в основании пирамиды через $r$. Правильный шестиугольник можно разбить на 6 правильных треугольников, поэтому площадь шестиугольника равна $\displaystyle 6\cdot \frac{r^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^{2}.$ Найдём площадь треугольника $ABC$.
$\displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot sin\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot r^{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}r^{2}=\frac{1}{6}S_{ABCDEF}.$
Таким образом, площадь основания пирамиды $GABC$ в 6 раз меньше площади основания шестиугольной пирамиды, а их высоты совпадают. Поэтому объёмы этих пирамид находятся в том же соотношении, что и площади их оснований.
$\displaystyle V_{GABC}=\frac{1}{6}V_{GABCDEF}=\frac{1}{6}\cdot 60=10.$
Ответ: 10.