Уравнения линейные и сводящиеся к линейным. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 22

Линейные уравнения — это уравнения вида $\displaystyle ax=b$, где $x$ — неизвестное, $a$ и $b$ — заданные числа.
• Если $a=0$ и $\displaystyle b\neq 0$, то уравнение имеет вид $\displaystyle 0\cdot x=b$, решений нет.
• Если $a=0$ и $b=0$, то уравнение имеет вид $\displaystyle 0\cdot x=0$, $x$ — любое число.
• Если $\displaystyle a\neq 0$ и $b$ — любое число, то делим обе части уравнения на $a$, находя неизвестное: $\displaystyle x=\frac{b}{a}$.
Пример 1. Найдите корень уравнения $\displaystyle -7x=35$.
Решение.
Разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (—7).
$\displaystyle x=35:(-7)$,
$\displaystyle x=-5$.
Ответ: —5.
Пример 2. Решите уравнение $\displaystyle 7x=28+3x$.
Решение.
Перенесём $3x$ в левую часть и приведём подобные:
$\displaystyle 7x-3x=28$,
$\displaystyle 4x=28$,
$\displaystyle x=28:4$,
$\displaystyle x=7$.
Ответ: 7.
Пример 3. Решите уравнение $\displaystyle -27x+36=3\cdot (56-9x)$.
Решение.
$\displaystyle -27x+36=3\cdot (56-9x)$,
$\displaystyle -27x+36=168-27x$,
$\displaystyle -27x+27x=168-36$,
$\displaystyle 0x=132$,
корней нет.
Ответ: корней нет.
Пример 4. Решите уравнение $\displaystyle (6-x)+(12-x)-(3-2x)=15$.
Решение.
Раскроем скобки:
$\displaystyle 6-x+12-x-3+2x=15$.
Приведём подобные слагаемые:
$\displaystyle (-1-1+2)x+(6+12-3)=15$,
$\displaystyle 0x+15=15$,
$\displaystyle 0x=15-15$,
$\displaystyle 0x=0$,
$x$ — любое число.
Ответ: $x$ — любое число.
Пример 5. Решите уравнение
$\displaystyle \frac{x+3}{4}-\frac{2x+1}{3}=-5.$
Решение.
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей $\displaystyle \frac{x+3}{4}$ и $\displaystyle \frac{2x+1}{3}$, то есть на 12.
$\displaystyle 12\cdot \left ( \frac{x+3}{4}-\frac{2x+1}{3} \right )=12\cdot (-5)$,
$\displaystyle 12\cdot \frac{x+3}{4}-12\cdot \frac{2x+1}{3}=-60,$
$\displaystyle 3\cdot (x+3)-4\cdot (2x+1)=-60$,
$\displaystyle 3x+9-8x-4=-60$,
$\displaystyle 3x-8x=-60-9+4$,
$\displaystyle -5x=-65$,
$\displaystyle x=13$.
Ответ: 13.