Производные обратных тригонометрических функций. Практикум по математическому анализу. Урок 30

Общие формулы и их частные виды:

12) \displaystyle (\arcsin u)'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}};
13) \displaystyle (\arccos u)'=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}};
14) \displaystyle (arctg\: u)'=\frac{u'}{1+u^{2}};
15) \displaystyle (arcctg\: u)'=-\frac{u'}{1+u^{2}};
12а) \displaystyle (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}};
13а) \displaystyle (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}};
14а) \displaystyle (arctg\: x)'=\frac{1}{1+x^{2}};
15а) \displaystyle (arcctg\: x)'=-\frac{1}{1+x^{2}}.

Производные показательной и логарифмической функций. Практикум по математическому анализу. Урок 29

Общие формулы производных показательной и логарифмической функций и их частные виды:

10) \displaystyle (a^{u})'=a^{u}ln\: a\cdot u';
10а) \displaystyle (e^{u})'=e^{u}\cdot u';
10б) \displaystyle (a^{x})'=a^{x}\cdot ln\: a;
10в) \displaystyle (e^{x})'=e^{x};
11) \displaystyle (log_{a}\: u)'=\frac{u'}{u}\cdot log_{a}\: e;
11a) \displaystyle (ln\: u)'=\frac{u'}{u};
11б) \displaystyle (log_{a}\: x)'=\frac{1}{x}\cdot log_{a}\: e;
11в) \displaystyle (ln\: x)'=\frac{1}{x}.

Производная сложной функции. Практикум по математическому анализу. Урок 28

Если \displaystyle y=f(u), где \displaystyle u=\varphi (x), т. е. если y зависит от x через посредство промежуточного аргумента u, то y называется сложной функцией от x.
Производная сложной функции равна произведению её производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx} или \displaystyle y'=f'(u)\cdot u'(x).
Так, если \displaystyle u=\varphi (x), то формулы 5, б, 7, 8 и 9 из предыдущего урока будут иметь следующий общий вид:

Производные простейших тригонометрических функций. Практикум по математическому анализу. Урок 27

На практике производные элементарных функций находятся по формулам и правилам дифференцирования, как это разъясняется в последующих примерах.
Таблица производных:
1) \displaystyle {(c)}'=0
2) \displaystyle {u+v-w}'={u}'+{v}'-{w}'
3) \displaystyle {uv}'={u}'v+{v}'u
4) \displaystyle {\left ( \frac{u}{v} \right )}'=\frac{{u}'v-{v}'u}{v^{2}}

загрузка...

Производные простейших алгебраических функций. Практикум по математическому анализу. Урок 26

Понятие производной широко применяется для решения разнообразных задач, однако нет надобности каждый раз находить производную путем предельного перехода, посредством тех четырех операций, которые указаны в общем правиле дифференцирования функций.
Практически производные элементарных функций находятся по формулам дифференцирования, как это разъясняется в последующих задачах.

Непосредственное нахождение производной. Практикум по математическому анализу. Урок 25

Для непосредственного нахождения производной \displaystyle y' от функции \displaystyle y=f(x) служит следующее общее правило.
I. Придаем аргументу x произвольное приращение \displaystyle \Delta x и, подставляя в данное выражение функции вместо x наращенное значение \displaystyle x+\Delta x находим наращенное значение функции:

\displaystyle y+\Delta y=f(x+\Delta x)

.

Производная функции и её геометрическое значение. Практикум по математическому анализу. Урок 24

Производной функции \displaystyle y=f(x) называется предел отношения ее приращения \displaystyle \Delta y к соответствующему приращению \displaystyle \Delta x независимой переменной, когда \displaystyle \Delta x\rightarrow 0:

\displaystyle \underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}. \; (*)

загрузка...