Наибольшее и наименьшее значения функции. Практикум по математическому анализу. Урок 54

Наибольшим значением функции называется самое большее, а наименьшим значением — самое меньшее из всех ее значений.
Функция может иметь только одно наибольшее значение и только одно наименьшее значение или может не иметь их совсем. Например, во всей своей области определения функция \sin x имеет наибольшее значение, равное единице, и наименьшее значение, равное минус единице; функции \textrm{tg}\, x и x^{3} не имеют ни наибольшего, ни наименьшего значений; функция -x^{2} имеет наибольшее значение, равное нулю, но не имеет наименьшего значения; функция 1+\sqrt{\left | x \right |} имеет наименьшее значение, равное единице, но не имеет наибольшего значения (рис. 52).

Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53

Примеры. Исследовать на максимум и минимум функции:
1) y=(1-x^{2})^{3} ; 2) u=x\sqrt{1-x^{2}} ; 3) v=2\sqrt[3]{x^{5}}-5\sqrt[3]{x^{2}}+1 ; 4) p=x^{3}-12x ; 5) q=x^{2}+\sqrt{x^{5}} ; 6) r=\sin ^{2}x .
Решение. 1) Согласно правилу исследования функции на экстремум:
I. Находим производную: y'=3(1-x^{2})^{2}(-2x)=-6x(1-x^{2})^{2} и критические точки. Полагая y'=0 , получим x_{1}=0,\: x_{2}=1,\: x_{3}=-1 . Функция y определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому точки x_{1},\: x_{2} и x_{1} являются критическими.

Максимум и минимум (экстремум) функции. Практикум по математическому анализу. Урок 52

Значение функции f(x) в точке x_{0} называется максимумом (минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках слева и справа от x_{0} .
Функция может иметь экстремум (максимум или минимум) только в тех точках, которые лежат внутри области определения функции и где ее производная равна нулю или не существует. (Это необходимые условия экстремума, но недостаточные; они могут выполняться и в точках, где нет экстремума, например в точках x_{2},x_{5},x_{7} рис. 44.) Такие точки называются критическими. В соответствующих точках графика функции касательная параллельна оси абсцисс ( y'=0 ), или оси ординат ( y'=\infty ) или нет определенной касательной (например, как в угловой точке).

Возрастание и убывание функции. Практикум по математическому анализу. Урок 51

При изучении поведения функции в зависимости от изменения независимой переменной обычно предполагается, что во всей области определения функции независимая переменная изменяется монотонно возрастая, т. е. что каждое следующее ее значение больше предыдущего.
Если при этом последовательные значения функции также возрастают, то и функция называется возрастающей, а если они убывают, то и функция называется убывающей.
Некоторые функции во всей своей области определения изменяются монотонно — только возрастают или только убывают (например 2^{x},\: \textrm{arcctg}\, x ).

Правило Лопиталя и его применение (окончание). Практикум по математическому анализу. Урок 50

Рассмотрим еще несколько случаев нахождения предела:
5) 1^{\infty } — когда функция представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель — к бесконечности;
6) \infty ^{0} — когда функция представляет степень, основание которой стремится к бесконечности, а показатель — к нулю;
7) 0 ^{0} — когда функция представляет степень, основание и показатель которой стремятся к нулю.
Эти случаи нахождения предела функции также сводятся к случаям \displaystyle \frac{0}{0} или \displaystyle \frac{\infty }{\infty } следующим путем: функция логарифмируется и сначала находится предел ее логарифма, а затем по найденному пределу логарифма находится и предел самой функции.

Правило Лопиталя и его применение (продолжение). Практикум по математическому анализу. Урок 49

Рассмотрим еще несколько случаев нахождения предела:
3) 0\cdot \infty — когда функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую;
4) \infty -\infty — когда функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин.
Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаям \displaystyle \frac{0}{0} или \displaystyle \frac{\infty }{\infty } путем преобразования функции к виду дроби.

Правило Лопиталя и его применение. Практикум по математическому анализу. Урок 48

В задачах на вычисление пределов функций (уроки №14-19) были разъяснены элементарные способы нахождения предела функции в тех случаях, когда аргумент неограниченно возрастает или стремится к значению, которое не входит в область определения функции. Кроме этих элементарных способов, весьма эффективным средством для нахождения предела функции в указанных особых случаях является следующее правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных (если последний предел существует или равен бесконечности).

загрузка...