Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 60

Пример 2. Исследовать функцию  \displaystyle y=\frac{1-x^{3}}{x^{2}} и построить ее график.
Решение. I. Функция  \displaystyle y=\frac{1-x^{3}}{x^{2}} определена на всей числовой оси, кроме точки x=0.
II. В точке x=0 функция имеет бесконечный разрыв: при  x \to -\infty и при  x \to +0 ,\: \lim y=+\infty . Во всех других точках числовой оси функция непрерывна.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV. График функции пересекает ось Ох в точке (1; 0) и не пересекает оси Оу.

Общая схема исследования функций и построения их графиков. Практикум по математическому анализу. Урок 59

Общее исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме:
I. Найти область определения функции.
II. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках.
III. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.
IV. Найти; точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

Асимптоты. Практикум по математическому анализу. Урок 58

Асимптотой кривой называется такая прямая, к которой неограниченно приближается тонка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.
Кривая может приближаться к своей асимптоте теми же способами, как и переменная к своему пределу: оставаясь с одной стороны от асимптоты, как, например, в задаче 1 (1) или с разных сторон, бесчисленное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую, как, например, в задаче 1 (3).
Для нахождения асимптот пользуются следующими положениями:

Направление выпуклости кривой и точки перегиба. Практикум по математическому анализу. Урок 57

Если в некотором интервале кривая расположена ниже любой своей касательной, то она называется выпуклой вверх, а если она расположена выше любой своей касательной, то называется выпуклой вниз в этом интервале.
Точкой перегиба называется точка на кривой, где меняется направление ее выпуклости.
На рис. 1 в интервале (a;b) кривая выпукла вверх, в интервале (b;c) она выпукла вниз, а точка B есть точка перегиба.

Задачи на наибольшее (наименьшее) значения функции (окончание). Практикум по математическому анализу. Урок 56

Задача №1. Из куска жести, форма и размеры которого (в дм) показаны на рис. 57, вырезать прямоугольник с наибольшей площадью.
Решение. Обозначим стороны вырезаемого прямоугольника через x и y . Тогда его площадь S=xy . Выразим y через x , исходя из подобия треугольников BDC и AEC :

BD=11-x;\: DC=y-6;\: AE=8;\: EC=4.

Задачи на наибольшее (наименьшее) значения функции. Практикум по математическому анализу. Урок 55

Во многих геометрических, физических и технических задачах требуется найти наибольшее или наименьшее значение величины, связанной функциональной зависимостью с другой величиной.
Широкая распространенность и большое значение этих задач послужили одним из главных поводов к развитию математического анализа.
Для решения такой задачи следует, исходя из ее условия, выбрать независимую переменную и выразить исследуемую величину через эту переменную, а затем найти искомое наибольшее или наименьшее значение полученной функции. При этом интервал изменения независимой переменной, который может быть конечным или бесконечным, также определяется из условия задачи.

Наибольшее и наименьшее значения функции. Практикум по математическому анализу. Урок 54

Наибольшим значением функции называется самое большее, а наименьшим значением — самое меньшее из всех ее значений.
Функция может иметь только одно наибольшее значение и только одно наименьшее значение или может не иметь их совсем. Например, во всей своей области определения функция \sin x имеет наибольшее значение, равное единице, и наименьшее значение, равное минус единице; функции \textrm{tg}\, x и x^{3} не имеют ни наибольшего, ни наименьшего значений; функция -x^{2} имеет наибольшее значение, равное нулю, но не имеет наименьшего значения; функция 1+\sqrt{\left | x \right |} имеет наименьшее значение, равное единице, но не имеет наибольшего значения (рис. 52).

...