Решение задач на уравнение касательной прямой и нормальной плоскости. Практикум по математическому анализу. Урок 42

Если x=x(t),y=y(t),z=z(t) — параметрические уравнения кривой и M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) - точка этой кривой, то касательная прямая к этой кривой в точке M_{0} определяется уравнениями
\displaystyle \frac{x-x_{0}}{\dot{x_{0}}}=\frac{y-y_{0}}{\dot{y_{0}}}=\frac{z-z_{0}}{\dot{z_{0}}}\; \; \; \; (1)
а нормальная плоскость (перпендикулярная к касательной) определяется уравнением
\displaystyle (x-x_{0})\dot{x_{0}}+(y-y_{0})\dot{y_{0}}+(z-z_{0})\dot{z_{0}}=0\; \; \; \; (2)

Вектор-функция скалярного аргумента и ее дифференцирование. Касательная к пространственной кривой. Математический анализ. Урок 41

Переменный вектор \vec{r} называется вектор-функцией скалярного аргумента t, если каждому рассматриваемому числовому значению t соответствует определенное значение \vec{r} (т. е. определенный модуль и определенное направление вектора \vec{r}).

Если начало переменного вектора \vec{r}=\vec{r}(t) неизменно помещается в начале координат O, т. е. если \vec{r}(t) есть радиус-вектор \vec{OM}, то при изменении скаляра t его подвижный конец M описывает некоторую линию, которая называется годографом этого вектора.

Дифференциал функции (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 40

Пример 1. Вычислить приближенное значение:
1) \sqrt[4]{17}; 2) arctg\, 0,98; 3) \sin 29^{\circ}.
Решение. Если требуется вычислить f(x_{1}) и если проще вычислить f(x_{0}) и f'(x_{0}) , то при достаточно малой по абсолютному значению разности x_{1}-x_{0}=dx можно заменить приращение функции ее дифференциалом f(x_{1})-f(x_{0})\approx f'(x_{0})dx и отсюда найти приближенное значение искомой величины по формуле

Дифференциал функции. Практикум по математическому анализу. Урок 39

Из определений производной \displaystyle y'=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\textrm{lim}}\frac{\Delta y}{\Delta x} и предела переменной следует, что \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=y'+\varepsilon или \displaystyle \Delta y=y'\Delta x+\varepsilon \Delta x, где \displaystyle \varepsilon \to 0 при \displaystyle \Delta x \to 0, т. е. что приращение функции можно разбить на две части.
Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается знаком d:

загрузка...

Скорость изменения переменной величины. Практикум по математическому анализу. Урок 38

Скорость изменения переменной величины. Скорость и ускорение прямолинейного движения.
Если величина z изменяется с течением времени то скорость ее изменения определяется производной \displaystyle \frac{dz}{dt}.
Зная зависимость между двумя переменными x и y, можно найти зависимость между скоростями их изменения по формуле производной сложной функции:

\displaystyle \frac{dz}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}.

Решение задач на вычисление площадей и объемов тел вращения. Геометрия. Видеоурок №4

В данном видео предлагается решение следующих задач:
1)Радиус основания конуса равен R. Образующие AC и BC взаимно перпендикулярны и делят площадь боковой поверхности в отношении 1:2. Найти объем конуса.
2) В конус вписана треугольная пирамида. Все боковые ребра пирамиды попарно взаимно перпендикулярны. Найти угол между высотой конуса и образующими.
3) Около шара описан усеченный конус. Площадь большего основания усеченного конуса в 4 раза больше площади другого основания. Найти угол между образующей и основанием конуса.

Решение задач на вычисление площадей и объемов тел вращения. Геометрия. Видеоурок №3

В данном видео предлагается решение следующих задач:
1) Даны стороны треугольника ABC равны 17,10,21. Он вращается вокруг большей стороны AC. Найти объем полученного тела вращения и его площадь полной поверхности.
2) В шар вписан куб. Найти отношение объемов шара и куба и отношение площадей поверхности шара и куба.
3) Все ребра пирамиды равны a. Найти поверхность шара, вписанного в эту пирамиду.

загрузка...
×