Решение задач на формулу Тейлора. Практикум по математическому анализу. Урок 45

Задача 1. Каждую из данных функций аппроксимировать многочленом n -й степени относительно x , оценить погрешность и установить, при каких значениях x она может быть сделана сколь угодно малой.
1) e^{x} ; 2) \sin x , 3) \cos x .
Решение. Чтобы получить приближенное выражение данной функции f(x) в виде многочлена относительно независимой переменной x , следует написать для этой функции многочлен Маклорена. Затем для оценки той погрешности, которая возникает в результате замены данной функции ее многочленом Маклорена, следует найти остаточный член R_{n} формулы Маклорена,

Теорема (формула) Тейлора. Практикум по математическому анализу. Урок 44

Многочисленные применения дифференциального исчисления в естествознании и технике основываются на теоремах Ролля, Лаграижа, Коши и Тейлора. В каждой из этих теорем утверждается существование некоторого среднего значения аргумента x=c , вследствие чего все они называются теоремами о среднем.
Теорема Тейлора. Функция f(x) , дифференцируемая n+1 раз в некотором интервале, содержащем точку a , может быть представлена в виде суммы многочлена n -й степени и остаточного члена R_{n} :

Скорость и ускорение криволинейного движения. Практикум по математическому анализу. Урок 43

Если в любой момент времени t положение движущейся точки M определяется ее радиусом-вектором \overrightarrow{OM}=\vec{r}(t) , то \dot{\vec{r}} есть вектор скорости, \ddot{\vec{r}} есть вектор ускорения, а годограф вектора \vec{r} есть траектория движения точки M .
Вектор скорости \overrightarrow{OM}=\vec{r}(t) направлен по касательной к траектории, а его модуль равен производной от пути по времени \displaystyle \left |\dot{\vec{r}} \right |=\frac{ds}{dt} .

Решение задач на уравнение касательной прямой и нормальной плоскости. Практикум по математическому анализу. Урок 42

Если x=x(t),y=y(t),z=z(t) — параметрические уравнения кривой и M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) - точка этой кривой, то касательная прямая к этой кривой в точке M_{0} определяется уравнениями
\displaystyle \frac{x-x_{0}}{\dot{x_{0}}}=\frac{y-y_{0}}{\dot{y_{0}}}=\frac{z-z_{0}}{\dot{z_{0}}}\; \; \; \; (1)
а нормальная плоскость (перпендикулярная к касательной) определяется уравнением
\displaystyle (x-x_{0})\dot{x_{0}}+(y-y_{0})\dot{y_{0}}+(z-z_{0})\dot{z_{0}}=0\; \; \; \; (2)

Вектор-функция скалярного аргумента и ее дифференцирование. Касательная к пространственной кривой. Математический анализ. Урок 41

Переменный вектор \vec{r} называется вектор-функцией скалярного аргумента t , если каждому рассматриваемому числовому значению t соответствует определенное значение \vec{r} (т. е. определенный модуль и определенное направление вектора \vec{r} ).

Если начало переменного вектора \vec{r}=\vec{r}(t) неизменно помещается в начале координат O , т. е. если \vec{r}(t) есть радиус-вектор \vec{OM} , то при изменении скаляра t его подвижный конец M описывает некоторую линию, которая называется годографом этого вектора.

Дифференциал функции (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 40

Пример 1. Вычислить приближенное значение:
1) \sqrt[4]{17} ; 2) arctg\, 0,98 ; 3) \sin 29^{\circ} .
Решение. Если требуется вычислить f(x_{1}) и если проще вычислить f(x_{0}) и f'(x_{0}) , то при достаточно малой по абсолютному значению разности x_{1}-x_{0}=dx можно заменить приращение функции ее дифференциалом f(x_{1})-f(x_{0})\approx f'(x_{0})dx и отсюда найти приближенное значение искомой величины по формуле

Дифференциал функции. Практикум по математическому анализу. Урок 39

Из определений производной \displaystyle y'=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\textrm{lim}}\frac{\Delta y}{\Delta x} и предела переменной следует, что \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=y'+\varepsilon или \displaystyle \Delta y=y'\Delta x+\varepsilon \Delta x , где \displaystyle \varepsilon \to 0 при \displaystyle \Delta x \to 0 , т. е. что приращение функции можно разбить на две части.
Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается знаком d :

загрузка...