Category Archives: Справочник по математике для школьников и абитуриентов

Основные элементарные функции

К основным элементарным функциям относятся следующие функции.
1. Степенная функция:
42
2. Показательная функция:
43
3. Логарифмическая функция:
44
4. Тригонометрические функции: у = sinx, у = cosx, у = tgx, У = ctgx, у = secx, у = cosecx.
5. Обратные тригонометрические функции: у = arcsinx, У = arccosx, у = arctgx, у = arcctgx.
Из основных элементарных функций можно строить другие функции при помощи арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и операции взятия функции от функции.
Элементарными функциями называются функции, построенные из основных элементарных функций при помощи конечного числа арифметических действий и конечного числа операции взятия функции от функции.
Примеры элементарных функций:

Обратная функция

Каждому значению х є D(f) равенство у = f(x) ставит вполне определенное значение у є E(f). В некоторых случаях равенство у = f(x) можно рассматривать как такое, которое каждому значению у є E(f) ставит в соответствие вполне определенное значение х є D(f).
Пример 1. Равенство у=3х—1 каждому значению у ставит в соответствие х=(у+1)/3. Можно сказать, что равенство у=3х—1 определяет х как некоторую функцию переменной у, т. е х=(у+1)/3.
Пусть функция у = f(x) такова, что по каждому допустимому значению величины у можно восстановить одно и только одно значение величины х. Тогда это равенство определяет х как не которую функцию от у. Обозначим эту функцию через φ: х=φ(у) В этом соотношении х=ф(у) роль аргумента играет у, а роль функции — х. Поскольку обычно х обозначает аргумент, у обозначает функцию, то перепишем зависимость х=φ(у) в виде у=φ(х). Функция у=φ(х) называется обратной по отношению к функции у=f(x).

Промежутки знакопостоянства и корни функции. Точки минимума и точки максимума функции. Экстремум функции

Промежутки знакопостоянства и корни функции

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т. е. остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции. Например, для функции у=х, у>0 при х>0 и у<0 при х<0.
Значения аргумента х є D(f), при которых функция f(x) = 0, называются корнями, (или нулями) функции. Ясно, что значения аргумента, при которых функция обращается в нуль,— это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох. Например, для функции у=х+2 нулем функции является х=—2; для функции у = х² - 5х + 6 нулями функции ЯВЛЯЮТСЯ x1 = 2, x2 = 3.

Точки минимума и точки максимума функции. Экстремум функции

Точка х0 из области определения функции у = f(x) называется точкой минимума этой функции, если найдется такая δ -окрестность точки х0 хє(х0-δ, х0+δ), что для всех х≠x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x0). Записывается это так:

Ограниченность функции. Монотонность функции

Ограниченность функции

Функция у = f(x) называется ограниченной, если ее область значений ограничена, т. е. если все ее значения лежат на каком-нибудь конечном промежутке. В противном случае функцию называют неограниченной.
Примеры функций, ограниченных на всей области определения:
29
Замечание 1. Можно дать следующее определение ограниченности функции: функция у = f(x) называется ограниченной на всей области определения D(f), если существует такое число С>0, что |f(x)|≤C для каждой точки x∈D(f).
Замечание 2. Функция y = f(x) называется ограниченной на множестве X⊂D(f), если существует такое число С>0, что |f(x)|≤C для каждого х є X.
Функция, ограниченная на некотором множестве X⊂D(f), может быть неограниченной на всей области определения. Например, функция у = 1/х ограничена при х є [1/10;10], но на всей области определения она является неограниченной.

загрузка...

Периодические функции

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что при любом х из области определения функции числа (х—Т) и (х+Т) также принадлежат этой области и выполняется равенство f(x+T) = f(x—Т) = f(x). Число Т в этом случае называется периодом функции f(x).
Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов, так как если Т — период функции у = f(x), то и число вида kТ — период функции (к є Z \ {0}). На практике, говоря о периоде, нередко имеют в виду наименьший положительный период (если таковой существует). Наименьший положительный период называется основным периодом.

Четные и нечетные функции

Функция у = f(x) называется четной, если для любых х и (—х) из области определения функции выполняется равенство f(-x) = f(x).
Функция y = f(x) называется нечетной, если для любых х и (—х) из области определения функции выполняется равенство f(—х) = — f(x). Если функция у = f(x) такова, что хотя бы для одной пары значений х и (—х) оказалось, что f(-x) ≠-f(x), и хотя бы для одной пары значений х и (-х) оказалось, что f(-x) ≠ f(x), то функция называется функцией общего вида. Кратко: если
17
то f(x) — функция общего вида.

Основные способы задания функции

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно было бы найти соответствующее значение функции. Имеется четыре основные способа задания функции:
1) аналитический;
2) графический;
3) табличный;
4) словесным описанием.
1) Аналитический способ задания функции. При аналитическом способе задания функция задается с помощью формулы у = f(x), где f(x) — некоторое выражение с переменной х.

загрузка...