Иррациональные числа (продолжение). Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 13

oge_matem_13

Пример 9. Исключите иррациональность из знаменателя:
а) \displaystyle \frac{3}{\sqrt{7}}; б) \displaystyle \frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}.
Решение.
а) \displaystyle \frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}.


б) \displaystyle \frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3-2}=5(\sqrt{3}+\sqrt{2}).
Ответ: а) \displaystyle \frac{3\sqrt{7}}{7}. б) \displaystyle 5(\sqrt{3}+\sqrt{2}).
Пример 10. Найдите значение выражения \displaystyle 2x^{2}-4\sqrt{3}x-1, если \displaystyle x=\sqrt{3}-1.
Решение.
Подставляя в заданное выражение значение x, получим \displaystyle 2\left ( \sqrt{3}-1 \right )^{2}-4\sqrt{3}\left (\sqrt{3}-1 \right )-1=2\left ( 3-2\sqrt{3}+1 \right )-4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+4\sqrt{3}-1=
\displaystyle =6-4\sqrt{3}+2-12+4\sqrt{3}-1=-5.
Ответ: -5.
Пример 11. При каких значениях а имеет смысл выражение \displaystyle \frac{1}{\sqrt{4a-1}}?
Решение.
Учитывая, что квадратный корень определён на множестве неотрицательных чисел, а знаменатель дроби отличен от нуля, выражение \displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}} имеет смысл при t>0. Значит, выражение \displaystyle \frac{1}{\sqrt{4a-1}} имеет смысл, если \displaystyle 4a-1>0. Отсюда a>0,25.
Ответ: \displaystyle \left ( 0,25;+\infty \right ).
Пример 12. Найдите наименьшее целое число, входящее в область допустимых значений выражения \displaystyle \frac{\sqrt{5x-17}}{x-4}.
Решение.
ОДЗ: \displaystyle \left\{\begin{matrix} 5x-17\geq 0,\\ x-4\neq 0; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 3,4,\\ x\neq 4. \end{matrix}\right.
Следовательно, наименьшим целым числом, входящим в область допустимых значений исходного выражения, является 5.
irrac_002

Рис. 1

Ответ: 5.
Рациональным называется число, которое можно представить в виде \displaystyle \frac{m}{n}, где m — целое, n — натуральное. Например, \displaystyle \frac{2}{3},\; -\frac{4}{9},\; 7. Остальные числа называют иррациональными.
Если \displaystyle \frac{m}{n}>0 — несократимая дробь (и числитель, и знаменатель нельзя сократить на одно и то же число), то \displaystyle \sqrt{\frac{m}{n}} иррационально.
Сумма рациональных чисел рациональна. Целое число называется чётным, если оно делится на 2, и нечётным в противном случае.
Пример 13. Какое из указанных чисел является рациональным?
1) \displaystyle \frac{(\sqrt{24}-\sqrt{5})(\sqrt{24}+\sqrt{5})}{\sqrt{19}};
2) \displaystyle (\sqrt{17}+\sqrt{3})(\sqrt{17}-\sqrt{3})+\sqrt{5};
3) \displaystyle (2+\sqrt{2})^{2}-4\sqrt{2};
4) \displaystyle \sqrt{7}+2.
Решение.
Преобразуем каждое выражение:
1) \displaystyle \frac{(\sqrt{24}-\sqrt{5})(\sqrt{24}+\sqrt{5})}{\sqrt{19}}=\frac{24-5}{\sqrt{19}}=\sqrt{19} - иррациональное число;
2) \displaystyle (\sqrt{17}+\sqrt{3})(\sqrt{17}-\sqrt{3})+\sqrt{5}=17-3+\sqrt{5} — иррациональное число;
3) \displaystyle (2+\sqrt{2})^{2}-4\sqrt{2}=6+4\sqrt{2}-4\sqrt{2}=6 — рациональное число;
4) \displaystyle \sqrt{7}+2 — иррациональное число.
Ответ: 3.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: