Прямоугольник, ромб, квадрат. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 52

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (см. рис.1).
mnogougol_022

Рис.1

загрузка...

Признак прямоугольника: если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Рассмотрим рисунок 2. Если мы знаем, что ABCD — параллелограмм и AC=BD, то мы можем утверждать, что ABCD — прямоугольник.
mnogougol_024

Рис.2

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: \displaystyle S_{ABCD}=AB\cdot AD (на рисунке 2).
Диагонали любого прямоугольника равны.
Другим видом параллелограмма является ромб — четырёхугольник, все стороны которого равны между собой (см. рис.3).
mnogougol_026

Рис.3

Ромб является параллелограммом, диагонали которого взаимно перпендикулярны (\displaystyle AC\perp BD на рисунке 4).
mnogougol_028

Рис.4

Признак ромба: если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Если ABCD — параллелограмм и \displaystyle AC\perp BD, то ABCD — ромб (см. рис.4).
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. \displaystyle S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD для ромба ABCD на рисунке 4.
Квадрат — это такой прямоугольник, у которого все стороны равны (см. рис. 5).
mnogougol_030

Рис.5

Квадрат также является ромбом, а потому сочетает в себе свойства и прямоугольника, и ромба.
Диагональ квадрата \displaystyle d=\sqrt{2}\cdot a, если a — сторона квадрата.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть \displaystyle S_{ABCD}=AB^{2}=a^{2} (см. рис.5).

Если известна диагональ квадрата d, его площадь можно найти по формуле \displaystyle S=\frac{1}{2}d^{2}.
Задача 1. Найдите площадь и высоту ромба ABCD, изображённого на рисунке 6.
mnogougol_032

Рис.6

Решение.
\displaystyle BD=2BO=2\cdot 6=12,AC=2AO=2\cdot 8=16, так как ромб — параллелограмм и диагонали точкой пересечения делятся пополам.
\displaystyle S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 12=96.
С другой стороны, \displaystyle S_{ABCD}=AB\cdot h, где h — высота ромба. \displaystyle AB\cdot h=96,h=96:10=9,6.
Ответ: 96; 9,6.
Задача 2. Укажите номера верных утверждений.
1) В равностороннем треугольнике все углы равны 90°.
2) Любой прямоугольник является ромбом.
3) В равнобедренной трапеции углы при основании равны.
4) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
5) Сумма двух соседних углов ромба может быть больше 180°.
Решение.
Утверждение 1) неверно, так как в равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
Утверждение 2) неверно, так как легко привести пример прямоугольника, который не является ромбом (см. рис.7).
Утверждение 3) верно, оно является свойством равнобедренной трапеции.
mnogougol_034

Рис.7

Утверждение 4) верно, оно является свойством параллелограмма.
Утверждение 5) неверно, так как сумма соседних углов любого параллелограмма равна 180°.
Ответ: 34.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: