Описанные и вписанные окружности (задачи). Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 17

Задача 1. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведённым в одну из вершин n-угольника (принадлежащих этой стороне), равен 67,5° (см. рис. 1). Найдите n.
vpys_okr_018

загрузка...

Рис. 1.

Решение.
Пусть AB — сторона n-угольника. \displaystyle \bigtriangleup AOB — равнобедренный, так как OA=OB как радиусы, значит, углы при основании равны и \displaystyle \angle A=\angle B=67,5^{\circ}. Найдём \displaystyle \angle AOB. \displaystyle \angle A+\angle B+\angle O=180^{\circ}, откуда \displaystyle \angle AOB=180^{\circ}-67,5^{\circ}\cdot 2=45^{\circ}. Если n-угольник правильный, то \displaystyle \angle AOB=360^{\circ}:n, тогда \displaystyle n=360^{\circ}:45=8.
Ответ: 8.
Задача 2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 113°, угол DAC равен 52°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах (см. рис. 2).
Решение.
vpys_okr_022

Рис. 2.

\displaystyle \angle ABD=\angle ABC-\angle DBC.\; \angle DAC=\angle DBC=52^{\circ} (как вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу). \displaystyle \angle ABD=113^{\circ}-52^{\circ}=61^{\circ}.
Ответ: 61.
Задача 3. Сторона AB остроугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности (см. рис. 3). Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
vpys_okr_020

Рис. 3.

Решение.
Пусть O — центр описанной окружности, тогда по условию \displaystyle OA=OB=AB и \displaystyle \bigtriangleup AOB правильный, \displaystyle \angle O=60^{\circ} — центральный угол, который опирается на дугу AB. \displaystyle \angle ACB — вписанный, опирается на дугу AB. \displaystyle \angle ACB=0,5\cdot \angle AOB=0,5\cdot 60^{\circ}=30^{\circ}.
Ответ: 30.
Задача 4. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 25, основание равно 30. Найдите радиус вписанной окружности (см. рис. 4).
vpys_okr_024

Рис. 4.

Решение.
В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности O лежит на высоте, проведённой к основанию, т.е. \displaystyle O\in CH (см. рис. 5). O — точка пересечения биссектрис. \displaystyle OH=r\cdot AO — биссектриса, она делит сторону CH треугольника ACH на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, \displaystyle \frac{AH}{HO}=\frac{AC}{CO}. CH — медиана, как высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника ABC, \displaystyle AH=30:2=15. Из \displaystyle \bigtriangleup ACH по теореме Пифагора
\displaystyle CH=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20.\; \frac{15}{r}=\frac{25}{20-r},\; 25r=15(20-r),\; 40r=15\cdot 20,\; r=7,5.
vpys_okr_026

Рис. 5.

Ответ: 7,5.
Задача 5. В треугольнике MPR MR = 32,\; PR = 24, угол R равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности (см. рис. 6).
vpys_okr_028

Рис. 6.

Решение.
Воспользуемся формулой для радиуса r вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Пусть a, b — катеты, а c — гипотенуза. Тогда \displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}. Найдём MP.
\displaystyle MP=\sqrt{32^{2}+24^{2}}=40,\; r=\frac{32+24-40}{2}=8.
Ответ: 8.
Задача 6. Около окружности, радиус которой равен \displaystyle 7\sqrt{2}, описан квадрат (см. рис. 7). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
vpys_okr_030

Рис. 7.

Решение.
Если окружность вписана в квадрат, то её диаметр равен стороне квадрата. \displaystyle AB=2\cdot 7\sqrt{2}=14\sqrt{2}.
Если окружность описана вокруг квадрата, то её диаметр является диагональю квадрата, радиус равен половине диаметра. \displaystyle AC=AB\sqrt{2} (например, можно получить это из теоремы Пифагора). \displaystyle AC=14\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=28. Тогда \displaystyle R=28:2=14.
Ответ: 14.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: