Описанные и вписанные окружности (задачи). Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 17

Задача 1. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведённым в одну из вершин n-угольника (принадлежащих этой стороне), равен 67,5° (см. рис. 1). Найдите n.

Рис. 1.

Решение.
Пусть $AB$ — сторона n-угольника. $\displaystyle \bigtriangleup AOB$ — равнобедренный, так как $OA=OB$ как радиусы, значит, углы при основании равны и $\displaystyle \angle A=\angle B=67,5^{\circ}$ . Найдём $\displaystyle \angle AOB$ . $\displaystyle \angle A+\angle B+\angle O=180^{\circ}$ , откуда $\displaystyle \angle AOB=180^{\circ}-67,5^{\circ}\cdot 2=45^{\circ}.$ Если n-угольник правильный, то $\displaystyle \angle AOB=360^{\circ}:n$ , тогда $\displaystyle n=360^{\circ}:45=8.$
Ответ: 8.
Задача 2. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен 113°, угол $DAC$ равен 52°. Найдите угол $ABD$ . Ответ дайте в градусах (см. рис. 2).
Решение.

Рис. 2.

$\displaystyle \angle ABD=\angle ABC-\angle DBC.\; \angle DAC=\angle DBC=52^{\circ}$ (как вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу). $\displaystyle \angle ABD=113^{\circ}-52^{\circ}=61^{\circ}.$
Ответ: 61.
Задача 3. Сторона $AB$ остроугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности (см. рис. 3). Найдите угол $C$ . Ответ дайте в градусах.

Рис. 3.

Решение.
Пусть $O$ — центр описанной окружности, тогда по условию $\displaystyle OA=OB=AB$ и $\displaystyle \bigtriangleup AOB$ правильный, $\displaystyle \angle O=60^{\circ}$ — центральный угол, который опирается на дугу $AB$ . $\displaystyle \angle ACB$ — вписанный, опирается на дугу $AB$ . $\displaystyle \angle ACB=0,5\cdot \angle AOB=0,5\cdot 60^{\circ}=30^{\circ}.$
Ответ: 30.
Задача 4. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 25, основание равно 30. Найдите радиус вписанной окружности (см. рис. 4).

Рис. 4.

Решение.
В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте, проведённой к основанию, т.е. $\displaystyle O\in CH$ (см. рис. 5). $O$ — точка пересечения биссектрис. $\displaystyle OH=r\cdot AO$ — биссектриса, она делит сторону $CH$ треугольника $ACH$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, $\displaystyle \frac{AH}{HO}=\frac{AC}{CO}.$ $CH$ — медиана, как высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника $ABC$ , $\displaystyle AH=30:2=15.$ Из $\displaystyle \bigtriangleup ACH$ по теореме Пифагора
$\displaystyle CH=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20.\; \frac{15}{r}=\frac{25}{20-r},\; 25r=15(20-r),\; 40r=15\cdot 20,\; r=7,5.$

Рис. 5.

Ответ: 7,5.
Задача 5. В треугольнике $MPR$ $MR = 32,\; PR = 24$ , угол $R$ равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности (см. рис. 6).

Рис. 6.

Решение.
Воспользуемся формулой для радиуса $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Пусть $a, b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Тогда $\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}$ . Найдём $MP$ .
$\displaystyle MP=\sqrt{32^{2}+24^{2}}=40,\; r=\frac{32+24-40}{2}=8.$
Ответ: 8.
Задача 6. Около окружности, радиус которой равен $\displaystyle 7\sqrt{2}$ , описан квадрат (см. рис. 7). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Рис. 7.

Решение.
Если окружность вписана в квадрат, то её диаметр равен стороне квадрата. $\displaystyle AB=2\cdot 7\sqrt{2}=14\sqrt{2}.$
Если окружность описана вокруг квадрата, то её диаметр является диагональю квадрата, радиус равен половине диаметра. $\displaystyle AC=AB\sqrt{2}$ (например, можно получить это из теоремы Пифагора). $\displaystyle AC=14\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=28.$ Тогда $\displaystyle R=28:2=14.$
Ответ: 14.