Параллелограмм. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 50

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На рисунке 1 ABCD — параллелограмм, так как \displaystyle AB\parallel CD и \displaystyle BC\parallel AD.
mnogougol_002

Рис. 1

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию: \displaystyle S_{ABCD}=AD\cdot CH (см. рис.1).
Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон на синус угла между ними: \displaystyle S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot \sin \angle BAD (см. рис.1).
Свойства:
1) Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°. То есть \displaystyle \angle A+\angle B=180^{\circ} и \displaystyle \angle B+\angle C=180^{\circ} (см. рис.1).
2) В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть \displaystyle AB=CD,AD=BC (см. рис.1).
3) В параллелограмме противоположные углы равны, то есть \displaystyle \angle A=\angle C,\angle B=\angle D (см. рис.1).
4) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, т. е. \displaystyle AM=MC,BM=MD (см. рис.2).
mnogougol_004

Рис.2

Признаки параллелограмма
1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. То есть, если \displaystyle AB\parallel CD и \displaystyle AB=CD, то ABCD — параллелограмм (см. рис.3).
2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. То есть, если \displaystyle AB=CD и \displaystyle BC=AD, то ABCD — параллелограмм (см. рис.3).
3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
mnogougol_006

Рис.3

Задача 1. В четырёхугольнике ABCD \displaystyle AB=CD=5,\angle DBA=\angle CDB=30^{\circ}. Найдите AO, если AC=8 (см. рис.4).
mnogougol_010

Рис.4

Решение.
Так как \displaystyle \angle DBA=\angle CDB, то \displaystyle CD\parallel AB по признаку параллельных прямых. Тогда ABCD — параллелограмм. (\displaystyle AB=CD,AB\parallel CD — первый признак параллелограмма). Значит, по свойству 4) параллелограмма получаем \displaystyle AO=\frac{1}{2}AC=4
Ответ: 4.
Задача 2. Найдите площади параллелограммов, изображённых на рисунке 5, если величина клетки равна 1.
mnogougol_008

Рис.5

Решение.
Проведём высоты в параллелограммах а) и б) (см. рис.6) и по клеточкам посчитаем их основания a и высоты h. После этого вычислим площадь \displaystyle S=ah.
mnogougol_012

Рис.6

а) \displaystyle a=8,h=4,S=8\cdot 4=32.
б) \displaystyle a=3,h=5,S=3\cdot 5=15.
в) Вычислим площадь по формуле: \displaystyle S=a\cdot b\cdot \sin \alpha, где \displaystyle a=20\sqrt{2},b=12,\alpha =45^{\circ}.
\displaystyle S=20\sqrt{2}\cdot 12\cdot \sin 45^{\circ}=240\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=240.
Ответ: а) 32, б) 15, в) 240.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×