Параллелограмм. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 50

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На рисунке 1 $ABCD$ — параллелограмм, так как $\displaystyle AB\parallel CD$ и $\displaystyle BC\parallel AD$.

Рис. 1

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию: $\displaystyle S_{ABCD}=AD\cdot CH$ (см. рис.1).
Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон на синус угла между ними: $\displaystyle S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot \sin \angle BAD$ (см. рис.1).
Свойства:
1) Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°. То есть $\displaystyle \angle A+\angle B=180^{\circ}$ и $\displaystyle \angle B+\angle C=180^{\circ}$ (см. рис.1).
2) В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $\displaystyle AB=CD,AD=BC$ (см. рис.1).
3) В параллелограмме противоположные углы равны, то есть $\displaystyle \angle A=\angle C,\angle B=\angle D$ (см. рис.1).
4) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, т. е. $\displaystyle AM=MC,BM=MD$ (см. рис.2).

Рис.2

Признаки параллелограмма
1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. То есть, если $\displaystyle AB\parallel CD$ и $\displaystyle AB=CD$, то $ABCD$ — параллелограмм (см. рис.3).
2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. То есть, если $\displaystyle AB=CD$ и $\displaystyle BC=AD$, то $ABCD$ — параллелограмм (см. рис.3).
3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Рис.3

Задача 1. В четырёхугольнике $ABCD$ $\displaystyle AB=CD=5,\angle DBA=\angle CDB=30^{\circ}$. Найдите $AO$, если $AC=8$ (см. рис.4).

Рис.4

Решение.
Так как $\displaystyle \angle DBA=\angle CDB$, то $\displaystyle CD\parallel AB$ по признаку параллельных прямых. Тогда $ABCD$ — параллелограмм. ($\displaystyle AB=CD,AB\parallel CD$ — первый признак параллелограмма). Значит, по свойству 4) параллелограмма получаем $\displaystyle AO=\frac{1}{2}AC=4$
Ответ: 4.
Задача 2. Найдите площади параллелограммов, изображённых на рисунке 5, если величина клетки равна 1.

Рис.5

Решение.
Проведём высоты в параллелограммах а) и б) (см. рис.6) и по клеточкам посчитаем их основания $a$ и высоты $h$. После этого вычислим площадь $\displaystyle S=ah$.

Рис.6

а) $\displaystyle a=8,h=4,S=8\cdot 4=32.$
б) $\displaystyle a=3,h=5,S=3\cdot 5=15.$
в) Вычислим площадь по формуле: $\displaystyle S=a\cdot b\cdot \sin \alpha$, где $\displaystyle a=20\sqrt{2},b=12,\alpha =45^{\circ}$.
$\displaystyle S=20\sqrt{2}\cdot 12\cdot \sin 45^{\circ}=240\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=240.$
Ответ: а) 32, б) 15, в) 240.