Равенство и подобие треугольников. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 46

Сумма углов треугольника равна 180°.
Сумма двух сторон треугольника больше третьей.
Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

Против большего угла треугольника лежит его большая сторона.
Треугольник, у которого один угол тупой, называется тупоугольным.

Внешние углы треугольника

Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника, называется внешним углом треугольника. Например, \displaystyle \angle CBK (см. рис.1) — внешний угол \displaystyle \bigtriangleup ABC.
ugly_034

Рис.1

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним \displaystyle \angle CBK=\angle BCA+\angle BAC, (см. рис.1).

Равенство треугольников

Равные треугольники — это такие треугольники, которые можно совместить друг с другом, наложив друг на друга так, чтобы они совпали.

Признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
ugly_036

Рис.2

Например, если \displaystyle AB=A_{1}B_{1},AC=A_{1}C_{1},\angle A=\angle A_{1} (см. рис.2), то \displaystyle \bigtriangleup ABC=\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}.
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
ugly_038

Рис.3

Например, если \displaystyle AC=A_{1}C_{1},\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1} и \displaystyle \angle BCA=\angle B_{1}C_{1}A_{1}, то \displaystyle \bigtriangleup ABC=\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1} (см. рис.3).
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
ugly_040

Рис.4

Например, если \displaystyle AB=A_{1}B_{1},BC=B_{1}C_{1},AC=A_{1}C_{1}, то \displaystyle \bigtriangleup ABC=\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1} (см. рис.4).

Подобие фигур

Часто встречаются фигуры, которые имеют разные размеры, но одинаковую форму, например, все круги или все квадраты. Такие фигуры называют подобными.
Треугольники ABC и \displaystyle A_{1}B_{1}C_{1} подобны друг другу (\displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}), если \displaystyle \angle A=\angle A_{1},\angle B=\angle B_{1},\angle C=\angle C_{1} и \displaystyle \frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=k, где k называют коэффициентом подобия (см. рис.5).
ugly_042

Рис.5

В подобных треугольниках медианы, биссектрисы, высоты и периметры пропорциональны с тем же коэффициентом. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}}}=\left ( \frac{AB}{A_{1}B_{1}} \right )^{2}=k^{2}

Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Например, если \displaystyle \angle A=\angle A_{1},\angle B=\angle B_{1}, то \displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1} (см. рис.6).
ugly_044

Рис.6

2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими двумя сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
ugly_046

Рис.7

Например, если \displaystyle \frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{A_{1}C_{1}}{AC} и \displaystyle \angle A=\angle A_{1}, то \displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1} (см. рис.7).
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
ugly_048

Рис.8

Например, если \displaystyle \frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{A_{1}C_{1}}{AC}=\frac{B_{1}C_{1}}{BC}, то \displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1} (см. рис.8).
Задача 1. Найдите градусную меру угла \displaystyle \angle ? треугольника ABC (см. рис.9), если \displaystyle \angle A=120^{\circ},\angle B=30^{\circ}.
ugly_050

Рис.9

Решение.
\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}, откуда \displaystyle 120^{\circ}+30^{\circ}+\angle C=180^{\circ},\angle C=30^{\circ}.
Ответ: 30.
Задача 2. Найдите градусную меру меньшего угла между биссектрисами углов \displaystyle \bigtriangleup ABC, проведёнными из вершин A и C, если \displaystyle \angle B=110^{\circ},\angle C=24^{\circ}.
Решение.
Найдём угол A, используя теорему о сумме углов треугольника.
ugly_052

Рис.10

\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ},\; \angle A=180^{\circ}-110^{\circ}-24^{\circ}=46^{\circ}.
\displaystyle AA_{1} и \displaystyle CC_{1} — биссектрисы (см. рис.10), поэтому \displaystyle \angle MCA=\angle C:2=24^{\circ}:2=12^{\circ}.
Меньший угол между биссектрисами — это внешний угол \displaystyle \bigtriangleup AMC,\angle A_{1}MC=\angle MAC+\angle MCA=23^{\circ}+12^{\circ}=35^{\circ}.
Ответ: 35.
Задача 3. Найдите сторону \displaystyle A_{1}C_{1} треугольника \displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}, если
\displaystyle \angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle BAC,\angle B_{1}C_{1}A_{1}=\angle BCA,AC=10,B_{1}C_{1}=4,BC=8 (см. рис.11).
Решение.
\displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1} по двум углам (первый признак подобия треугольников).
\displaystyle \frac{B_{1}C_{1}}{BC}=\frac{A_{1}C_{1}}{AC};\frac{4}{8}=\frac{A_{1}C_{1}}{10};A_{1}C_{1}=10\cdot \frac{4}{8}=5.
Ответ: 5.
ugly_054

Рис.11

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×