Решение неравенств методом интервалов. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 29

Покажем решение неравенств методом интервалов.
Пример 1. Решите неравенство \displaystyle x^{2}-4x-21\geq 0.
Решение.
1) Разложим левую часть неравенства на множители. Для этого решим уравнение \displaystyle x^{2}-4x-21=0. \displaystyle x=7 и \displaystyle x=-3 — корни уравнения. Неравенство примет вид \displaystyle (x+3)(x-7)\geq 0.


2) Нанесём числа —3 и 7 на прямую. Учитывая, что неравенство нестрогое, закрасим точки (см. рис. 1).
met_interv_002

Рис.1

3) Так как \displaystyle a=1>0, то на крайнем правом промежутке поставим знак «+» (можно из любого промежутка взять число и подставить в левую часть неравенства, например, если x=10, получим 100-40-21=39>0) (см. рис. 2).
met_interv_004

Рис.2

4) Так как множители (x+3) и (x-7) в нечётной степени (в первой), то на остальных промежутках знаки чередуем и рисуем «змейку» (см. рис. 3).
met_interv_006

Рис.3

5) Левая часть неравенства больше или равна 0, значит, выделяем промежутки со знаком «+» (см. рис. 4).
met_interv_008

Рис.4

6) Делаем вывод: \displaystyle x\leq -3,\; x\geq 7.
Ответ: (—оо; —3] U [7; +оо).
Пример 2. Решите неравенство \displaystyle 7x^{2}-12x+5<0.
Решение.
\displaystyle 7x^{2}-12x+5=0, \displaystyle x_{1}=1,\; x_{2}=\frac{5}{7} — корни уравнения.
\displaystyle 7(x-1)\left ( x-\frac{5}{7} \right )<0\; |:7 \displaystyle (x-1)\left ( x-\frac{5}{7} \right )<0. met_interv_010

Рис.5

\displaystyle \frac{5}{7}<x<1 (см. рис. 5).

Ответ: \displaystyle \left ( \frac{5}{7};1 \right ).
Пример 3. Решите неравенство \displaystyle -x^{2}-8x+9>0.
Решение.
Умножим обе части неравенства на (—1).
\displaystyle x^{2}+8x-9<0, \displaystyle x^{2}+8x-9=0, met_interv_012

Рис.6

\displaystyle x_{1}=1,\; x_{2}=-9 — корни уравнения.
\displaystyle (x+9)(x-1)<0. \displaystyle -9<x<1 (см. рис. 6).
Ответ: (—9; 1).
Пример 4. Решите неравенство \displaystyle x^{2}-6x+9>0.
Решение.
Заметим, что левая часть неравенства — полный квадрат, то есть \displaystyle x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}. Неравенство примет вид \displaystyle (x-3)^{2}>0, отсюда решение этого неравенства — любое число, кроме x=3, так как неравенство строгое.
met_interv_016

Рис.7

x<3 и x>3 (см. рис. 7).
Ответ: \displaystyle (-\infty ;3)\cup (3;+\infty ).
Пример 3. Решите неравенство \displaystyle \frac{3x-6}{x+4}\geq 0.
Решение.
Нули числителя: 3x-6=0, x=2. Нули знаменателя: x+4=0, x=-4.
met_interv_014

Рис.8

\displaystyle x<-4,x\geq 2 (см. рис. 8).
Ответ: \displaystyle (-\infty ;-4)\cup \left [2;\infty \right ).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

!--noindex-->