Решение неравенств методом интервалов. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 29

Покажем решение неравенств методом интервалов.
Пример 1. Решите неравенство $\displaystyle x^{2}-4x-21\geq 0$.
Решение.
1) Разложим левую часть неравенства на множители. Для этого решим уравнение $\displaystyle x^{2}-4x-21=0$. $\displaystyle x=7$ и $\displaystyle x=-3$ — корни уравнения. Неравенство примет вид $\displaystyle (x+3)(x-7)\geq 0$.
2) Нанесём числа —3 и 7 на прямую. Учитывая, что неравенство нестрогое, закрасим точки (см. рис. 1).

3) Так как

4) Так как множители $(x+3)$ и $(x-7)$ в нечётной степени (в первой), то на остальных промежутках знаки чередуем и рисуем «змейку» (см. рис. 3).

5) Левая часть неравенства больше или равна 0, значит, выделяем промежутки со знаком «+» (см. рис. 4).

6) Делаем вывод: $\displaystyle x\leq -3,\; x\geq 7$.
Ответ: (—оо; —3] U [7; +оо).
Пример 2. Решите неравенство $\displaystyle 7x^{2}-12x+5<0$.
Решение.
$\displaystyle 7x^{2}-12x+5=0$, $\displaystyle x_{1}=1,\; x_{2}=\frac{5}{7}$ — корни уравнения.
$\displaystyle 7(x-1)\left ( x-\frac{5}{7} \right )<0\; |:7$ $\displaystyle (x-1)\left ( x-\frac{5}{7} \right )<0.$

$\displaystyle \frac{5}{7}<x<1$ (см. рис. 5).
Ответ: $\displaystyle \left ( \frac{5}{7};1 \right )$.
Пример 3. Решите неравенство

$\displaystyle x_{1}=1,\; x_{2}=-9$ — корни уравнения.
$\displaystyle (x+9)(x-1)<0$. $\displaystyle -9<x<1$ (см. рис. 6).
Ответ: (—9; 1).
Пример 4. Решите неравенство

$x<3$ и

$\displaystyle x<-4,x\geq 2$ (см. рис. 8).
Ответ: $\displaystyle (-\infty ;-4)\cup \left [2;\infty \right ).$