Тригонометрические функции тупого угла. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 23

Рассмотрим развёрнутый угол BAK (см. рис. 1). Луч AP делит его на два смежных угла. Оказывается, синусы этих смежных углов равны, а косинусы противоположны (то есть отличаются только знаком).
trig_fu_022

Рис. 1.

Например, если \displaystyle \sin \angle BAP=0,8, то \displaystyle \sin \angle PAK=0,8, \displaystyle \cos \angle BAP=0,6 и \displaystyle \cos \angle PAK=-0,6. Тангенсы смежных углов также противоположны.
Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, \displaystyle \cos A=\frac{10}{\sqrt{109}}.
Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.
Решение.
Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной этого треугольника и продолжением другой его стороны. На рисунке 2 внешний угол при вершине A — это угол BAK.
BAK и CAB — смежные углы. Тангенсы смежных углов — противоположные числа (отличаются только знаком), поэтому найдём тангенс угла CAB. Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему.
trig_fu_024

Рис. 2.

Для нашего треугольника \displaystyle \cos A=\frac{10}{\sqrt{109}}=\frac{AC}{BA}.

Будем считать, что AC = 10, \displaystyle BA=\sqrt{109}. Найдём \displaystyle BC=\sqrt{BA^{2}-CA^{2}}=\sqrt{109-100}=\sqrt{9}=3. Тогда \displaystyle tg BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{10}=0,3.\; tg BAK=-0,3.
Ответ: -0,3.
Задача 2. Основания равнобедренной трапеции (см. рис. 3) равны 5 и 11. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции.
trig_fu_026

Рис. 3.

Решение.
В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Если опустить высоты из вершин C и D на основание AB, то получатся два равных прямоугольных треугольника ADH и CBK (см. рис. 4).
trig_fu_028

Рис. 4.

DCKH — прямоугольник, DC = HK = 5. AH = BK = (11-5):2 = 3. Синус острого угла трапеции, например A, найдём из прямоугольного треугольника ADH. По теореме Пифагора, \displaystyle DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.\; \sin A=\frac{DH}{DA}=\frac{4}{5}=0,8.
Ответ: 0,8.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×