Тригонометрические функции тупого угла. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 23

Рассмотрим развёрнутый угол $BAK$ (см. рис. 1). Луч $AP$ делит его на два смежных угла. Оказывается, синусы этих смежных углов равны, а косинусы противоположны (то есть отличаются только знаком).

Например, если $\displaystyle \sin \angle BAP=0,8$, то $\displaystyle \sin \angle PAK=0,8$, $\displaystyle \cos \angle BAP=0,6$ и $\displaystyle \cos \angle PAK=-0,6$. Тангенсы смежных углов также противоположны.
Задача 1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен 90°, $\displaystyle \cos A=\frac{10}{\sqrt{109}}$.
Найдите тангенс внешнего угла при вершине $A$.
Решение.
Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной этого треугольника и продолжением другой его стороны. На рисунке 2 внешний угол при вершине $A$ — это угол $BAK$.
$BAK$ и $CAB$ — смежные углы. Тангенсы смежных углов — противоположные числа (отличаются только знаком), поэтому найдём тангенс угла $CAB$. Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Для нашего треугольника $\displaystyle \cos A=\frac{10}{\sqrt{109}}=\frac{AC}{BA}$.
Будем считать, что $AC = 10$, $\displaystyle BA=\sqrt{109}$. Найдём $\displaystyle BC=\sqrt{BA^{2}-CA^{2}}=\sqrt{109-100}=\sqrt{9}=3.$ Тогда $\displaystyle tg BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{10}=0,3.\; tg BAK=-0,3.$
Ответ: -0,3.
Задача 2. Основания равнобедренной трапеции (см. рис. 3) равны 5 и 11. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции.

Решение.
В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Если опустить высоты из вершин $C$ и $D$ на основание $AB$, то получатся два равных прямоугольных треугольника $ADH$ и $CBK$ (см. рис. 4).

$DCKH$ — прямоугольник, $DC = HK = 5$. $AH = BK = (11-5):2 = 3$. Синус острого угла трапеции, например $A$, найдём из прямоугольного треугольника $ADH$. По теореме Пифагора, $\displaystyle DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.\; \sin A=\frac{DH}{DA}=\frac{4}{5}=0,8.$
Ответ: 0,8.