Подобие фигур. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 3. Урок 59

Как правило, в задачах практической геометрии используется подобие треугольников. Напомним некоторые определения и теоремы.
Часто встречаются фигуры, которые имеют разные размеры, но одинаковую форму, например, все круги или все квадраты. Такие фигуры называют подобными.
Треугольники $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ подобны друг другу ($\displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$), если $\displaystyle \angle A=\angle A_{1},\angle B=\angle B_{1},\angle C=\angle C_{1}$ и $\displaystyle \frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=k$, где $k$ называют коэффициентом подобия (см. рис. 1).

Рис.1

В подобных треугольниках медианы, биссектрисы и высоты пропорциональны с тем же коэффициентом.
Признаки подобия треугольников
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Например, если $\displaystyle \angle A=\angle A_{1},\angle B=\angle B_{1},$ то $\displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$ (см. рис. 2).

Рис.2

2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими двумя сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Рис.3

Например, если $\displaystyle \frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{A_{1}C_{1}}{AC}$ и $\displaystyle \angle A=\angle A_{1}$, то $\displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$ (см. рис. 3).
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Рис.4

Например, если $\displaystyle \frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{A_{1}C_{1}}{AC}=\frac{B_{1}C_{1}}{BC}$, то $\displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$ (см. рис. 4).
Теорема Пифагора.
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Например, $\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$ (см. рис. 5).

Рис.5

Задача 1. От столба к палатке «Мороженое» натянут провод длиной 13 м, который закреплён на стене палатки на высоте 3 м от земли (см. рис. 6). Вычислите высоту столба, если расстояние от палатки до столба равно 12 м.

Рис.6

Решение.
В $\bigtriangleup ABC$ (см. рис. 7) $\angle A=90^{\circ},AC=12$м, $BC=13$м. По теореме Пифагора имеем $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$. Отсюда $AB^{2}=BC^{2}-AC^{2},AB^{2}=13^{2}-12^{2}=25,AB=5$м.

Рис.7

Учитывая, что высота палатки 3 м, найдём высоту столба: 5м + 3м = 8м.
Ответ: 8.
Задача 2. Определите ширину реки $AA_{1}$ (см. рис. 8), если $BC_{1}=50$м, $BC=15$м, $AB=18$м, $\angle A=\angle A_{1}$ (Ответ дайте в метрах.)

Рис.8

Решение.
На местности отметим точки $A$ и $B$ так, чтобы они находились на одной прямой с точкой $A_{1}$. На берегу отметим точки $C$ и $C_{1}$ так, чтобы $AC$ была параллельна $A_{1}C_{1}$.
Получим $\displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}BC_{1}$,
$\displaystyle \frac{A_{1}B}{AB}=\frac{BC_{1}}{BC},A_{1}B=\frac{AB\cdot BC_{1}}{BC}=\frac{18\cdot 50}{15}=60$(м).
$\displaystyle AA_{1}=A_{1}B-AB=60-18=42$(м).
Ответ: 42.
Задача 3. Проектор полностью освещает экран $A$ высотой 60 см, расположенный на расстоянии 300 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран $B$ высотой 150 см, чтобы он был полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными (см. рис. 9)?

Рис.9

Решение.
Из рисунка 10 $\displaystyle \bigtriangleup OAA_{1}\sim \bigtriangleup OBB_{1}$, значит $\displaystyle \frac{BB_{1}}{AA_{1}}=\frac{OH_{1}}{OH};\frac{150}{60}=\frac{OH_{1}}{300};OH_{1}=300\cdot \frac{150}{60}=5\cdot 150=750$ (см).
Здесь используется свойство, что высоты подобных треугольников ($OH$ и $OH_{1}$) относятся так же, как и стороны ($\frac{OH_{1}}{OH}=\frac{BB_{1}}{AA_{1}}$)

Рис.10

Ответ: 750.
Задача 4. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 20 шагов от фонарного столба и отбрасывает тень длиной в 20 шагов. Опре¬делите высоту столба в метрах.
Решение.

Рис.11

Рассмотрим рисунок 11.
$\displaystyle \bigtriangleup ACD\sim \bigtriangleup ABE,\frac{CD}{BE}=\frac{AD}{AE};AD=AE+ED=20+20=40;$
$\displaystyle \frac{CD}{1,8}=\frac{40}{20};\frac{CD}{1,8}=2;CD=3,6$(м)
Ответ: 3,6.