Category Archives: Высшая математика

Производная сложной функции. Практикум по математическому анализу. Урок 28

Если \displaystyle y=f(u), где \displaystyle u=\varphi (x), т. е. если y зависит от x через посредство промежуточного аргумента u, то y называется сложной функцией от x.
Производная сложной функции равна произведению её производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx} или \displaystyle y'=f'(u)\cdot u'(x).
Так, если \displaystyle u=\varphi (x), то формулы 5, б, 7, 8 и 9 из предыдущего урока будут иметь следующий общий вид:

Производные простейших тригонометрических функций. Практикум по математическому анализу. Урок 27

На практике производные элементарных функций находятся по формулам и правилам дифференцирования, как это разъясняется в последующих примерах.
Таблица производных:
1) \displaystyle {(c)}'=0
2) \displaystyle {u+v-w}'={u}'+{v}'-{w}'
3) \displaystyle {uv}'={u}'v+{v}'u
4) \displaystyle {\left ( \frac{u}{v} \right )}'=\frac{{u}'v-{v}'u}{v^{2}}

Производные простейших алгебраических функций. Практикум по математическому анализу. Урок 26

Понятие производной широко применяется для решения разнообразных задач, однако нет надобности каждый раз находить производную путем предельного перехода, посредством тех четырех операций, которые указаны в общем правиле дифференцирования функций.
Практически производные элементарных функций находятся по формулам дифференцирования, как это разъясняется в последующих задачах.

Непосредственное нахождение производной. Практикум по математическому анализу. Урок 25

Для непосредственного нахождения производной \displaystyle y' от функции \displaystyle y=f(x) служит следующее общее правило.
I. Придаем аргументу x произвольное приращение \displaystyle \Delta x и, подставляя в данное выражение функции вместо x наращенное значение \displaystyle x+\Delta x находим наращенное значение функции:

\displaystyle y+\Delta y=f(x+\Delta x)

.

загрузка...

Производная функции и её геометрическое значение. Практикум по математическому анализу. Урок 24

Производной функции \displaystyle y=f(x) называется предел отношения ее приращения \displaystyle \Delta y к соответствующему приращению \displaystyle \Delta x независимой переменной, когда \displaystyle \Delta x\rightarrow 0:

\displaystyle \underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}. \; (*)

Непрерывность и точки разрыва функции. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 23

Пример 1. Для каждой из следующих функций найти точки разрыва, если они существуют, найти скачок функции в каждой точке разрыва и построить график:
1) \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{2}x^{2},\: if\: x\leq 2,\\ x,\: if\: x>2; \end{matrix}\right.
2) \displaystyle \varphi (x)=\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x},\: if\: 0\leq x\leq 1,\\ 4-2x,\: if\: 1<x <2,5,\\ 2x-7,\: if\: 2,5\leq x<+\infty ; \end{matrix}\right.

Непрерывность и точки разрыва функции. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 22

Пример 1. Показать, что элементарные функции:
1) \displaystyle y=2x^{2}-1; 2) \displaystyle v=\textrm{cosec}\: x.
непрерывны во всей своей области определения.
Решение. Найдем область определения функции и затем убедимся, исходя из определения непрерывности, что функция будет непрерывна в этой же области.

загрузка...