Несобственные интегралы. Практикум по математическому анализу. Урок 95

Несобственные интегралы. Урок 95
Интегралы с бесконечными пределами или от разрывных функций называются несобственными.
I. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются посредством предельного перехода:

$$\displaystyle \int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\underset{\beta \to +\infty}{\lim }\int_{a}^{\beta}f(x)dx,\: \: \: \: \: (1)$$

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\underset{\alpha \to -\infty}{\lim }\int_{\alpha}^{b}f(x)dx,\: \: \: \: \: (2)$$

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\underset{\alpha \to -\infty}{\lim }\int_{\alpha}^{c}f(x)dx+\underset{\beta \to +\infty}{\lim }\int_{c}^{\beta}f(x)dx,\: \: \: \: \: (3)$$

где $c$ — произвольное вещественное число.

II. Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами также определяются посредством предельного перехода:
если функция $f(x)$ имеет бесконечный разрыв в точке $x=c$, принадлежащий отрезку [a;b], и непрерывна во всех других точках этого отрезка, то

$$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{\varepsilon _{1} \to +0}{\lim }\int_{a}^{c-\varepsilon _{1}}f(x)dx+\underset{\varepsilon _{2} \to +0}{\lim }\int_{c+\varepsilon _{2}}^{b}f(x)dx,\: \: \: \: \: (4)$$

где $\varepsilon _{1}$ и $\varepsilon _{2}$ изменяются независимо друг от друга.

Несобственные интегралы называются сходящимися или расходящимися, смотря по тому, существуют или нет определяющие их пределы соответствующих определенных (собственных) интегралов.

Пример 1. Найти следующие несобственные интегралы:
1) $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }e^{-x}dx;$
2) $\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{x^{2}+1};$
3) $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{x};$
4) $$\displaystyle \int_{-1}^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}.$
Пояснить решение геометрически.
Решение. 1) Пользуясь равенством (1), имеем

$$\displaystyle \int_{0}^{+\infty }e^{-x}dx=\underset{\beta \to +\infty}{\lim}\int_{0}^{\beta}e^{-x}dx=\lim (-e^{-x})\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{\beta}=\lim (e^{0}-e^{-\beta })=1.$$

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.

Геометрически, в прямоугольной системе координат, всякий определенный интеграл $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx$ дает алгебраическую сумму площадей, ограниченных кривой $y=f(x)$, двумя вертикальными прямыми $x=a$, $x=b$ и осью $Ox$.

Поэтому, построив кривую $y=e^{-x}$ и ее ординаты в точках $x=0$ и $x=\beta$ (рис.1), получим криволинейную трапецию $OAB\beta$, площадь которой

$$\displaystyle S(\beta)=\int_{0}^{\beta}e^{-x}dx=1-e^{-\beta}.$$

При $\displaystyle \beta \to +\infty$ получим трапецию с бесконечным основанием, которая имеет конечную площадь $\displaystyle S(+\infty )=\underset{\beta \to +\infty}{S(\beta)}=1$.

2) Пользуясь определением (3), получим

$$\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{x^{2}+1}=\underset{\alpha \to -\infty}{\lim}\int_{\alpha}^{0}\frac{dx}{x^{2}+1}+\underset{\beta \to +\infty}{\lim}\int_{0}^{\beta}\frac{dx}{x^{2}+1}=\lim \textrm{arctg}\, x\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{\alpha}^{0}+\lim \textrm{arctg}\, x\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{\beta}=-\textrm{arctg}\,(-\infty)+\textrm{arctg}\,(+\infty)=-\left ( -\frac{\pi }{2} \right )+\frac{\pi }{2}=\pi .$$

Геометрически (рис.2) интеграл от функции $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$ в пределах от $\alpha$ до $\beta$ выражает площадь криволинейной трапеции $$\alpha AB\beta$, а данный несобственный сходящийся интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, которая неограниченно простирается влево и вправо и вместе с тем имеет конечную величину $\pi$.

3) Здесь при $x=0$ подынтегральная функция $\frac{1}{x}$ имеет бесконечный разрыв. Согласно определению (4)

$$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{x}=\underset{\varepsilon \to +0}{\lim}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{x}=\lim \ln x\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{\varepsilon }^{1}=\lim (\ln 1-\ln \varepsilon)=-\ln 0=+\infty ,$$

т. е. этот несобственный интеграл расходится.

Геометрически (рис.3) полученный результат указывает, что площадь криволинейной трапеции $\varepsilon ABb$

$$\displaystyle S(\varepsilon )=\int_{\varepsilon }^{1}\frac{dx}{x}=-\ln \varepsilon$$

при $\displaystyle \varepsilon \to +0$ неограниченно возрастает.

4) Здесь подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке $x=1$, лежащей внутри отрезка интегрирования [-1;2]. Поэтому, согласно определению (4),

$$\displaystyle \int_{-1}^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}=\underset{\varepsilon_{1} \to +0}{\lim }\int_{-1}^{1-\varepsilon _{1}}\frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}+\underset{\varepsilon_{2} \to +0}{\lim }\int_{1+\varepsilon _{2}}^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}=\lim 3\sqrt[3]{x-1}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{-1}^{1-\varepsilon _{1}}+\lim 3\sqrt[3]{x-1}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{1+\varepsilon_{2}}^{2}=3\lim (\sqrt[3]{-\varepsilon_{1}}-\sqrt[3]{-2})+3\lim (\sqrt[3]{1}-\sqrt[3]{\varepsilon_{2}})=3(\sqrt[3]{2}+1).$$

Для графика подынтегральной функции $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}$ (рис.4) прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой. Интегралы от этой функции в пределах от — 1 до $1-\varepsilon _{1}$ и от $1+\varepsilon _{2}$ до 2 выражают площади криволинейных трапеций $\alpha AP\varepsilon$ и $\eta QBb$. При $\varepsilon_{1} \to +0$ и $\varepsilon_{2} \to +0$ эти трапеции неограниченно простираются вверх и вместе с тем имеют конечные площади, сумма которых равна найденному значению данного несобственного сходящегося интеграла.

Пример 2. Найти несобственные интегралы:
1) $\displaystyle \int_{0}^{2}\frac{x^{3}dx}{\sqrt{4-x^{2}}};$
2) $\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\frac{\ln x}{x^{3}}dx.$
Решение.
1) Преобразуем интеграл к новой переменной. Полагая $x=2\sin t$, получим; $dx=2\cos tdt;\: t=0$ при $x=0$; $\displaystyle t=\frac{\pi }{2}$ при $x=2$;

$$\displaystyle \int_{0}^{2}\frac{x^{3}dx}{\sqrt{4-x^{2}}}=8\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^{3}t\cos t}{\cos t}dt=8\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{3}tdt=8\int_{\frac{\pi }{2}}^{0}(1-\cos ^{2}t)d\cos t=8(\cos t-\frac{1}{3}\cos ^{3}t)\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{\frac{\pi }{2}}^{0}=\frac{16}{3}.$$

Здесь в результате замены переменной данный несобственный интеграл (от функции, имеющей бесконечный разрыв в правом конце интервала интегрирования) преобразовался в собственный интеграл от непрерывной функции и с конечным интервалом интегрирования, который вычислен обычным путем без применения предельного перехода.
Возможно и обратное. При замене переменной собственный интеграл может перейти в несобственный.

2) Согласно определению (1)

$$\displaystyle I=\int_{1}^{+\infty }\frac{\ln x}{x^{3}}dx=\underset{\beta \to +\infty }{\lim }\int_{1}^{\beta}\frac{\ln xdx}{x^{3}}.$$

К последнему интегралу применяем формулу интегрирования по частям $\displaystyle \int udv=uv-\int vdu$. Полагая $\displaystyle u=\ln x,\: dv=x^{-3}dx$, получим $\displaystyle du=\frac{dx}{x},\: v=-\frac{1}{2x^{2}}$ и

$$\displaystyle \int_{1}^{\beta}\frac{\ln xdx}{x^{3}}=-\frac{\ln x}{2x^{2}}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^{3}} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{1}^{\beta }=-\frac{\ln x}{2x^{2}}-\frac{1}{4x^{2}} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{1}^{\beta }=-\frac{\ln \beta }{2\beta ^{2}}-\frac{1}{4\beta ^{2}}+\frac{1}{4}.$$

Подставляя в предыдущее равенство, имеем:

$$\displaystyle I=\underset{\beta \to +\infty}{\lim }\left ( \frac{1}{4}-\frac{1}{4\beta^{2}}-\frac{\ln \beta}{2\beta ^{2}} \right )=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\lim \frac{\ln \beta }{\beta ^{2}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\lim \left ( \frac{1}{\beta }:2\beta \right )=\frac{1}{4}.$$

Здесь для нахождения предела последнего слагаемого применено правило Лопиталя.