Несобственные интегралы. Практикум по математическому анализу. Урок 95

Несобственные интегралы. Практикум по математическому анализу. Урок 95

Несобственные интегралы. Урок 95
Интегралы с бесконечными пределами или от разрывных функций называются несобственными.
I. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются посредством предельного перехода:

\displaystyle \int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\underset{\beta \to +\infty}{\lim }\int_{a}^{\beta}f(x)dx,\: \: \: \: \: (1)


\displaystyle \int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\underset{\alpha \to -\infty}{\lim }\int_{\alpha}^{b}f(x)dx,\: \: \: \: \: (2)


\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\underset{\alpha \to -\infty}{\lim }\int_{\alpha}^{c}f(x)dx+\underset{\beta \to +\infty}{\lim }\int_{c}^{\beta}f(x)dx,\: \: \: \: \: (3)


где c — произвольное вещественное число.

II. Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами также определяются посредством предельного перехода:
если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке x=c, принадлежащий отрезку [a;b], и непрерывна во всех других точках этого отрезка, то

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{\varepsilon _{1} \to +0}{\lim }\int_{a}^{c-\varepsilon _{1}}f(x)dx+\underset{\varepsilon _{2} \to +0}{\lim }\int_{c+\varepsilon _{2}}^{b}f(x)dx,\: \: \: \: \: (4)

где \varepsilon _{1} и \varepsilon _{2} изменяются независимо друг от друга.

Несобственные интегралы называются сходящимися или расходящимися, смотря по тому, существуют или нет определяющие их пределы соответствующих определенных (собственных) интегралов.

Пример 1. Найти следующие несобственные интегралы:
1) \displaystyle \int_{0}^{+\infty }e^{-x}dx;
2) \displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{x^{2}+1};
3) \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{x};
4) $\displaystyle \int_{-1}^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}.
Пояснить решение геометрически.
Решение. 1) Пользуясь равенством (1), имеем

\displaystyle \int_{0}^{+\infty }e^{-x}dx=\underset{\beta \to +\infty}{\lim}\int_{0}^{\beta}e^{-x}dx=\lim (-e^{-x})\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{\beta}=\lim (e^{0}-e^{-\beta })=1.

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.

Геометрически, в прямоугольной системе координат, всякий определенный интеграл \displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx дает алгебраическую сумму площадей, ограниченных кривой y=f(x), двумя вертикальными прямыми x=a, x=b и осью Ox.

Несобственные интегралы. Практикум по математическому анализу. Урок 95
Рис.1

Поэтому, построив кривую y=e^{-x} и ее ординаты в точках x=0 и x=\beta (рис.1), получим криволинейную трапецию OAB\beta, площадь которой

\displaystyle S(\beta)=\int_{0}^{\beta}e^{-x}dx=1-e^{-\beta}.

При \displaystyle \beta \to +\infty получим трапецию с бесконечным основанием, которая имеет конечную площадь \displaystyle S(+\infty )=\underset{\beta \to +\infty}{S(\beta)}=1.

Несобственные интегралы. Практикум по математическому анализу. Урок 95
Рис.2

2) Пользуясь определением (3), получим

\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{x^{2}+1}=\underset{\alpha \to -\infty}{\lim}\int_{\alpha}^{0}\frac{dx}{x^{2}+1}+\underset{\beta \to +\infty}{\lim}\int_{0}^{\beta}\frac{dx}{x^{2}+1}=\lim \textrm{arctg}\, x\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{\alpha}^{0}+\lim \textrm{arctg}\, x\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{\beta}=-\textrm{arctg}\,(-\infty)+\textrm{arctg}\,(+\infty)=-\left ( -\frac{\pi }{2} \right )+\frac{\pi }{2}=\pi .

Геометрически (рис.2) интеграл от функции \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+1} в пределах от \alpha до \beta выражает площадь криволинейной трапеции $\alpha AB\beta, а данный несобственный сходящийся интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, которая неограниченно простирается влево и вправо и вместе с тем имеет конечную величину \pi.

3) Здесь при x=0 подынтегральная функция \frac{1}{x} имеет бесконечный разрыв. Согласно определению (4)

\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{x}=\underset{\varepsilon \to +0}{\lim}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{x}=\lim \ln x\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{\varepsilon }^{1}=\lim (\ln 1-\ln \varepsilon)=-\ln 0=+\infty ,

т. е. этот несобственный интеграл расходится.

Несобственные интегралы. Практикум по математическому анализу. Урок 95
Рис.3

Геометрически (рис.3) полученный результат указывает, что площадь криволинейной трапеции \varepsilon ABb

\displaystyle S(\varepsilon )=\int_{\varepsilon }^{1}\frac{dx}{x}=-\ln \varepsilon

при \displaystyle \varepsilon \to +0 неограниченно возрастает.

4) Здесь подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке x=1, лежащей внутри отрезка интегрирования [-1;2]. Поэтому, согласно определению (4),

\displaystyle \int_{-1}^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}=\underset{\varepsilon_{1} \to +0}{\lim }\int_{-1}^{1-\varepsilon _{1}}\frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}+\underset{\varepsilon_{2} \to +0}{\lim }\int_{1+\varepsilon _{2}}^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}=\lim 3\sqrt[3]{x-1}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{-1}^{1-\varepsilon _{1}}+\lim 3\sqrt[3]{x-1}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{1+\varepsilon_{2}}^{2}=3\lim (\sqrt[3]{-\varepsilon_{1}}-\sqrt[3]{-2})+3\lim (\sqrt[3]{1}-\sqrt[3]{\varepsilon_{2}})=3(\sqrt[3]{2}+1).

Для графика подынтегральной функции \displaystyle y=\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}} (рис.4) прямая x=1 является вертикальной асимптотой. Интегралы от этой функции в пределах от — 1 до 1-\varepsilon _{1} и от 1+\varepsilon _{2} до 2 выражают площади криволинейных трапеций \alpha AP\varepsilon и \eta QBb. При \varepsilon_{1} \to +0 и \varepsilon_{2} \to +0 эти трапеции неограниченно простираются вверх и вместе с тем имеют конечные площади, сумма которых равна найденному значению данного несобственного сходящегося интеграла.

Несобственные интегралы. Практикум по математическому анализу. Урок 95
Рис.4

Пример 2. Найти несобственные интегралы:
1) \displaystyle \int_{0}^{2}\frac{x^{3}dx}{\sqrt{4-x^{2}}};
2) \displaystyle \int_{1}^{+\infty }\frac{\ln x}{x^{3}}dx.
Решение.
1) Преобразуем интеграл к новой переменной. Полагая x=2\sin t, получим; dx=2\cos tdt;\: t=0 при x=0; \displaystyle t=\frac{\pi }{2} при x=2;

\displaystyle \int_{0}^{2}\frac{x^{3}dx}{\sqrt{4-x^{2}}}=8\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^{3}t\cos t}{\cos t}dt=8\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{3}tdt=8\int_{\frac{\pi }{2}}^{0}(1-\cos ^{2}t)d\cos t=8(\cos t-\frac{1}{3}\cos ^{3}t)\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{\frac{\pi }{2}}^{0}=\frac{16}{3}.

Здесь в результате замены переменной данный несобственный интеграл (от функции, имеющей бесконечный разрыв в правом конце интервала интегрирования) преобразовался в собственный интеграл от непрерывной функции и с конечным интервалом интегрирования, который вычислен обычным путем без применения предельного перехода.
Возможно и обратное. При замене переменной собственный интеграл может перейти в несобственный.

2) Согласно определению (1)

\displaystyle I=\int_{1}^{+\infty }\frac{\ln x}{x^{3}}dx=\underset{\beta \to +\infty }{\lim }\int_{1}^{\beta}\frac{\ln xdx}{x^{3}}.

К последнему интегралу применяем формулу интегрирования по частям \displaystyle \int udv=uv-\int vdu. Полагая \displaystyle u=\ln x,\: dv=x^{-3}dx, получим \displaystyle du=\frac{dx}{x},\: v=-\frac{1}{2x^{2}} и

\displaystyle \int_{1}^{\beta}\frac{\ln xdx}{x^{3}}=-\frac{\ln x}{2x^{2}}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^{3}} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{1}^{\beta }=-\frac{\ln x}{2x^{2}}-\frac{1}{4x^{2}} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{1}^{\beta }=-\frac{\ln \beta }{2\beta ^{2}}-\frac{1}{4\beta ^{2}}+\frac{1}{4}.

Подставляя в предыдущее равенство, имеем:

\displaystyle I=\underset{\beta \to +\infty}{\lim }\left ( \frac{1}{4}-\frac{1}{4\beta^{2}}-\frac{\ln \beta}{2\beta ^{2}} \right )=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\lim \frac{\ln \beta }{\beta ^{2}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\lim \left ( \frac{1}{\beta }:2\beta \right )=\frac{1}{4}.

Здесь для нахождения предела последнего слагаемого применено правило Лопиталя.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

десять − четыре =