Координаты центра тяжести
Центром тяжести совокупности материальных точек называется центр параллельных сил тяжести, приложенных в этих точках.
Для материальной дуги плоской кривой прямоугольные координаты центра тяжести С определяются формулами
где — масса дуги ; и — статические моменты этой дуги относительно осей и ; — линейная плотность распределения массы в точке дуги; — дифференциал дуги; и обозначают значения выбранной переменной интегрирования в точках и .
Если материальная дуга является однородной, то формулы (1) упрощаются: постоянная выносится за знаки интегралов и сокращается.
Для материальной однородной криволинейной трапеции, прилежащей к оси (см. рис. 1),
Центр тяжести однородной материальной линии или фигуры, имеющей ось симметрии, лежит на этой оси.
Пример 1. Найти центр тяжести четверти окружности , расположенной в первом квадранте, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна произведению координат точки.
Решение. Из уравнения окружности найдем затем :
Далее вычислим интегралы, содержащиеся в формулах (1), полагая, согласно условию, :
Подставляя значения интегралов в формулы (1), получим
Очевидно, найденная точка не лежит на данной дуге, а расположена ниже ее.
Пример 2. Найти центр тяжести однородной арки циклоиды (рис.2)
Решение. Данная однородная дуга симметрична относительно прямой . Поэтому центр тяжести дуги лежит на этой прямой, т. е. . Для определения найдем дифференциал дуги циклоиды
и вычислим интегралы, содержащиеся во второй из формул (1):
По формуле (1),
Пример 3. Найти центр тяжести однородной фигуры (пластинки), ограниченной параболой и осями координат.
Решение. Данная однородная фигура симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла (рис. 3), поэтому .
Вычислим интегралы, содержащиеся в первой из формул (2):
Следовательно,