Координаты центра тяжести. Практикум по математическому анализу. Урок 94

Координаты центра тяжести
Центром тяжести совокупности материальных точек называется центр параллельных сил тяжести, приложенных в этих точках.
Для материальной дуги $AB$ плоской кривой прямоугольные координаты центра тяжести С определяются формулами

$$x_{C}=\frac{m_{y}}{m}=\frac{\int_{(A)}^{(B)}\delta xdl}{\int_{(A)}^{(B)}\delta dl},\: y_{C}=\frac{m_{x}}{m}=\frac{\int_{(A)}^{(B)}\delta ydl}{\int_{(A)}^{(B)}\delta dl}\; \; \; (1)$$

где $m$ — масса дуги $AB$; $m_{x}$ и $m_{y}$ — статические моменты этой дуги относительно осей $Ox$ и $Oy$; $\delta (M)$ — линейная плотность распределения массы в точке $M(x,y)$ дуги; $dl$ — дифференциал дуги; $(A)$ и $(B)$ обозначают значения выбранной переменной интегрирования в точках $A$ и $B$.

Если материальная дуга является однородной, то формулы (1) упрощаются: постоянная $\delta$ выносится за знаки интегралов и сокращается.

Для материальной однородной криволинейной трапеции, прилежащей к оси $Ox$ (см. рис. 1),

$$x_{C}=\frac{\int_{a}^{b}xydx}{\int_{a}^{b}ydx};\; y_{C}=\frac{\int_{a}^{b}y^{2}dx}{2\int_{a}^{b}ydx}.\; \; \; (2)$$

Центр тяжести однородной материальной линии или фигуры, имеющей ось симметрии, лежит на этой оси.

Пример 1. Найти центр тяжести четверти окружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, расположенной в первом квадранте, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна произведению координат точки.
Решение. Из уравнения окружности найдем $y'$ затем $dl$:

$$2x+2yy'=0;\; y'=-\frac{x}{y};$$

$$dl=\sqrt{1+(y')^{2}}dx=\sqrt{1+\frac{x^{2}}{y^{2}}}dx=\sqrt{\frac{y^{2}+x^{2}}{y^{2}}}dx=\frac{a}{y}dx.$$

Далее вычислим интегралы, содержащиеся в формулах (1), полагая, согласно условию, $\delta =kxy$:

$$\int_{(A)}^{(B)}\delta xdl=\int_{0}^{a}kxy\cdot x\cdot \frac{a}{y}dx=ka\int_{0}^{a}x^{2}dx=\frac{ka}{3}x^{3} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{a}=\frac{ka^{4}}{3},$$

$$\int_{(A)}^{(B)}\delta ydl=ka\int_{0}^{a}xydx=ka\int_{0}^{a}x\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{ka}{2}\int_{a}^{0}(a^{2}-x^{2})^{\frac{1}{2}}d(a^{2}-x^{2})=\frac{ka}{3}(a^{2}-x^{2})^{\frac{3}{2}} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{a}^{0}=\frac{ka^{4}}{3},$$

$$\int_{(A)}^{(B)}\delta dl=ka\int_{0}^{a}xdx=\frac{ka}{2}x^{2} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{a}=\frac{ka^{3}}{2}.$$

Подставляя значения интегралов в формулы (1), получим

$$x_{C}=y_{C}=\frac{2}{3}a.$$

Очевидно, найденная точка не лежит на данной дуге, а расположена ниже ее.

Пример 2. Найти центр тяжести однородной арки циклоиды (рис.2)

$$x=a(t-\sin t),\; y=a(1-\cos t).$$

Решение. Данная однородная дуга симметрична относительно прямой $x=\pi a$. Поэтому центр тяжести дуги лежит на этой прямой, т. е. $x_{C}=\pi a$. Для определения $y_{C}$ найдем дифференциал дуги циклоиды

$$dl=\sqrt{x^{2}+y^{2}}dt=\sqrt{a^{2}(1-\cos t)^{2}+a^{2}\sin^{2}t}dt=2a\sin \frac{t}{2}dt$$

и вычислим интегралы, содержащиеся во второй из формул (1):

$$I_{1}=\int_{(A)}^{(B)}\delta ydl=2\delta a^{2}\int_{0}^{2\pi }(1-\cos t)\sin \frac{t}{2}dt=$$

$$=2\delta a^{2}\left ( \int \sin \frac{t}{2}dt-\int \cos t\sin \frac{t}{2}dt \right ) \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{2\pi }=2\delta a^{2}\left \{ 2\int \sin \frac{t}{2}d\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\int \left [ \sin \frac{3}{2}t+\sin \left ( -\frac{t}{2} \right ) \right ]dt \right \} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{2\pi }=$$

$$=2\delta a^{2}(-3\cos \frac{t}{2}+\frac{1}{3}\cos \frac{3}{2}t) \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{2\pi }=\frac{32}{3}\delta a^{2}.$$

$$I_{2}=\int_{(A)}^{(B)}\delta dl=2\delta a\int_{0}^{2\pi }\sin \frac{t}{2}dt=-4\delta a\cos \frac{t}{2} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{2\pi }=8\delta a.$$

По формуле (1), $y_{C}=\frac{4}{3}a.$

Пример 3. Найти центр тяжести однородной фигуры (пластинки), ограниченной параболой $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ и осями координат.

Решение. Данная однородная фигура симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла (рис. 3), поэтому $x_{C}=y_{C}$.
Вычислим интегралы, содержащиеся в первой из формул (2):

$$I_{1}=\int_{a}^{b}xydx=\int_{0}^{a}x(a^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}})^{2}dx=\int_{0}^{a}(ax-2a^{\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{2}}+x^{2})dx=\left ( \frac{1}{2}ax^{2}-\frac{4}{5}a^{\frac{1}{2}}x^{\frac{5}{2}}+\frac{1}{3}x^{3} \right ) \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{a}=\frac{a^{3}}{30}.$$

$$I_{2}=\int_{a}^{b}ydx=\int_{0}^{a}x(a^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}})^{2}dx=\int_{0}^{a}(a-2a^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}+x)dx=\frac{a^{2}}{6}.$$

Следовательно, $x_{C}=y_{C}=\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{a}{5}.$