Координаты точек. Решение задач. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 8

Задача 3. Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки A(-4; 6) и B(2; 4) (см. рис. 6).
koord_012

загрузка...

Рис.6

Решение.
Пусть C(x;y) — середина AB. Тогда ордината точки C
\displaystyle y=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{6+4}{2}=5. Ордината равна 5.
Ответ: 5.
Задача 4. Точки A(-1;-2), B(4;-1), C(6;5) и D являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки P пересечения его диагоналей (см. рис. 7).
koord_014

Рис.7

Решение.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Абсцисса точки P равна
\displaystyle \frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-1+6}{2}=2,5.
Ответ: 2,5.
Задача 5. Найдите ординату центра окружности (см. рис. 8), описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (2;2), (2;—6), (—4;—6), (-4; 2).
koord_016

Рис.8

Решение.
Центр описанной окружности прямоугольника лежит на середине диагонали. Найдём ординату середины AC.
\displaystyle y=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{2+(-6)}{2}=-2.
Ответ: —2.
Задача 6. Точки O(0; 0), B(8; 2), C(0; 8) являются вершинами параллелограмма (см. рис. 9). Найдите ординату точки M.
koord_018

Рис.9

Решение.
Ордината — это координата по оси Oy. Она равна длине отрезка HM (см. рис. 10).
koord_020

Рис.10

HB = 2, так как ордината B равна 2. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, то OC = BM = 8. Тогда HM = 2 + 8 = 10.
Ответ: 10.
Задача 7. Прямая а проходит через точки с координатами (0;2) и (-4;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;—4) и параллельна прямой a (см. рис. 11). Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.
koord_024

Рис.11

Решение.
1-й способ.
Нарисуем картинку на клетчатой бумаге (см. рис. 12).
koord_022

Рис.12

Абсцисса точки пересечения прямой b с осью Ox равна длине отрезка OA. Так как прямые параллельны, углы HCO и ABK равны, достроим 2 треугольника BKT и TMA, равных треугольнику HCO.
OA = BK + TM = 4 + 4 = 8.
Ответ: 8.
2-й способ.
Треугольники CHO и BOA подобны по трём углам (см. рис. 13), значит, их стороны пропорциональны. OB : OH = OA : OC, тогда 4:2 = OA : 4. OA = 8.
koord_026

Рис.13

Ответ: 8.

Задача 8. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (12; 0) и (0; 12) (см. рис. 14).
koord_028

Рис.14

Решение.
Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, который прямая образует с положительным направлением оси
Ox (там, где на оси стрелочка). В нашей задаче это угол a (см. рис. 15).
koord_030

Рис.15

Он тупой, значит, его тангенс отрицательный и по модулю равен тангенсу угла \displaystyle b=180^{\circ}-a. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB с катетами OA = 12 и OB = 12. Тангенс угла b равен \displaystyle \frac{OA}{OB}=\frac{12}{12}=1. Тангенс угла a равен —1. Угловой коэффициент прямой равен —1.
Ответ: —1.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: