Векторы. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 9

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом, называется вектором.
Вектор характеризуется модулем (длиной отрезка) и направлением. Два вектора, имеющие одинаковые модули и направления, равны.
Вектор с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ обозначают $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ или строчной (маленькой) буквой, например $\displaystyle \overrightarrow{a}$ (см. рис. 1).

Рис.1.

Модуль (длину) вектора обозначают $\displaystyle \left |\overrightarrow{AB} \right |$ .
Сумма векторов — это вектор, который можно получить двумя способами (см. рис. 2). Заметим, что для любых точек $A$ , $B$ и $C$ $\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

Рис.2.

Разность векторов тоже можно получить двумя способами: $\displaystyle \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$ или $\displaystyle \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (см. рис. 3).

Рис.3.

Задача 1. Стороны правильного треугольника $KNP$ равны 10 (см. рис. 4). Найдите длину вектора $\displaystyle \overrightarrow{KN}-\overrightarrow{KP}$ .

Рис.4.

Решение.
$\displaystyle \overrightarrow{KN}-\overrightarrow{KP}=\overrightarrow{PN},\; \left | \overrightarrow{PN} \right |=10.$
Ответ: 10.
Задача 2. Стороны правильного треугольника $KNP$ равны 10 (см. рис. 5). Найдите квадрат длины вектора $\displaystyle \overrightarrow{KN}+\overrightarrow{KP}.$

Рис.5.

Решение.
Достроим $\displaystyle \bigtriangleup KPN$ до ромба $KPTN$ (см. рис. 6). $\displaystyle \overrightarrow{KN}+\overrightarrow{KP}=\overrightarrow{KT}.$ Найдём длину $KT$ из $\displaystyle \bigtriangleup KTP$ с углом $P$ = 120°. Согласно теореме косинусов, $\displaystyle KT^{2}=10^{2}+10^{2}-2\cdot 10\cdot 10\cdot (-0,5)=300.$