Пусть точки и имеют координаты .
Координаты вектора вычисляются по формуле
Длина вектора, или модуль вектора
Заметим, что если ввести координатные векторы и так, что длины этих векторов равны 1, а направление вектора совпадает с направлением оси , вектора — оси , то любой вектор на координатной плоскости можно представить в виде разложения , где числа , называют координатами вектора . Обычно записывают или .
Координаты суммы и разности векторов и :
Для параллелограмма известно, что его противоположные стороны равны и параллельны. Например, для параллелограмма (см. рис. 1) , так как и || .
Диагонали параллелограмма пересекаются в середине диагоналей, поэтому , (см. рис. 2).
Скалярное произведение векторов , где — угол между векторами и .
Если векторы заданы координатами , то
Задача 1. Найдите длину вектора (см. рис. 3).
Решение.
Ответ: 13.
Задача 2. Точки и являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки (см. рис. 4).
Решение.
Стороны параллелограмма || и , поэтому . Найдём ординаты векторов и .
Ответ: 4.
Задача 3. Стороны правильного треугольника равны 10 (см. рис. 5). Найдите скалярное произведение векторов и .
Решение.
Скалярное произведение векторов вычисляют по формуле , где — угол между векторами. В правильном углы равны по 60°, поэтому .
Ответ: 50.
Задача 4. Найдите сумму координат вектора (см. рис. 6).
Решение.
Найдём координаты вектора . Он выходит из начала координат, поэтому его координаты равны координатам его конца: . Аналогично .
имеет координаты {2 — 6; 3 — 4}, то есть {—4; —1}. Сумма координат —4 + (—1) = —5.
Ответ: —5.
Задача 5. Найдите квадрат длины вектора (см. рис. 6).
Решение.
. Тогда имеет координаты {2 + 6; 3 + 4} или {8; 7}.
Ответ: 113.
Задача 6. Найдите скалярное произведение векторов и (см. рис. 6).
Решение.
Тогда
Ответ: 24.
Задача 7. ННайдите угол между векторами а и Ь (см. рис. 7). Ответ выразите в градусах.
Решение.
.
Тогда
Ответ: 90.
Приглашаем Вас посетить интернет-проект подготовки школьников к государственной итоговой аттестации(ГИА) и единым государственным экзаменам (ЕГЭ) в 2017 году.
Чтобы подготовка школьников к выпускным экзаменам прошла хорошо, школьных занятий мало – учебные часы на штудирование всякого предмета урезаны. Занятия в нашем Центре подготовки гарантируют школьнику благополучную сдачу экзаменов. Средний полученный результат ЕГЭ у наших абитуриентов достигает 89 баллов.
репетитор по русскому языку в спб