Координаты точек. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 7

Рассмотрим прямоугольную систему координат $Oxy$ (см. рис. 1).
Длина отрезка $AB$ , для которого известны координаты его концов $\displaystyle A(x_{A};y_{A})$ и $\displaystyle B(x_{B};y_{B})$ , определяется по формуле $\displaystyle \left | AB \right |=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}.$

Рис.1

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $\displaystyle x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\; y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}.$

Рис.2

Если точки $A$ и $B$ симметричны относительно оси $Ox$ (оси абсцисс), то их ординаты противоположны (см. рис. 2), а абсциссы равны: $A(x;y)$ , $B(x;-y)$ .
Если точки $A$ и $C$ симметричны относительно оси $Oy$ , то их абсциссы противоположны, а ординаты равны: $A(x;y)$ , $C(-x;y)$ .
Если точки $A$ и $D$ симметричны относительно начала координат, то их координаты противоположны: $A(x;y)$ , $D(-x;-y)$ .
Задача 1. Найдите расстояние от точки $B$ с координатами (12;-5) до начала координат (см. рис. 3).

Рис.3

Решение.
Начало координат находится в точке $O(0;0)$ . Расстояние от $O$ до $B$ равно $\displaystyle OB=\sqrt{(x_{B}-x_{O})^{2}+(y_{B}-y_{O})^{2}}=\sqrt{(12-0)^{2}+(-5-0)^{2}}=13.$
Ответ: 13.
Задача 2. Найдите абсциссу точки, симметричной точке $A(2;5)$ относительно оси $Oy$ (см. рис. 4).
Решение.